Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

где А *—случайный вектор ош ибок измерений коорди н ат точки

Плотность вероятностей случайного вектора ошибок измере­ ний обозначим p(h*).

Используя равенство (7.2.7), запишем плотность вероятностей случайного вектора г*, которая в соответствии со смыслом этого

равенства будет зависеть от вектора £. Действительно, из (7.2.7) следует, что

т. е. плотность вероятностей-вектора г* зависит от вектора £,

компонентами которого являются координаты I я х точки, лежа­ щей на кривой 5.

Равенство (7.2.7) записано в предположении, что ошибки из­ мерений аддитивны по отношению к измеряемым величинам. При другом способе комбинации ошибок измерений и измеряемых ве­ личин равенства (7.2.7) и (7.2.9) запишутся в виде

г*=г*(!;, Л*);. h*=h*{z\ ?).

Цепочка равенств (7.2.10) будет иметь уже более сложный вид, поскольку при ее записи необходимо будет использовать выражения для плотности вероятностей функции случайного век­ тора. Однако крайние члены этой цепочки запишутся в общем

виде так же, как и в рассматриваемом случае, т. е. будут совпа­ дать с крайними членами в (7.2.10).

Плотность вероятности реализации .S’случайного вектора z* получим путем подстановки в выражение для плотности вероят­

ностей случайного вектора z* вместо вектора z* его реализа­ ции Z-

быть получена одна и та же опытная точка z с координатами w и V. Указанная окрестность точки £ определяется в общем случае условиями эксперимента и законом распределения ошибок изме­ рении. Можно сказать, что источником случайного события, за­ ключающегося в получении опытной точки г с координатами w и v, может быть любая точка на кривой 5 из некоторой окрест­ ности точки £. По этой причине в соответствии с правилом сложе-

198

ния вероятностей полная плотность вероятности реалазиции г случайного вектора z f может быть записана в виде криволиней­ ного интеграла первого типа:

(7.2.12)

где AS — указанная окрестность точки £, a k — постоянный по­ ложительный коэффициент, нормирующий функцию плотности вероятностей.

В (7.2.12) ф (£ )— весовая функция, отражающая тот факт, что в общем случае не все точки кривой S могут с равным осно­ ванием полагаться источником появления в эксперименте опыт­ ной точки 2. Возможные конкретные виды функции ф(£) рас­ смотрены ниже. Здесь скажем только, что для той точки кри­ вой S, относительно которой с наибольшей уверенностью можно сделать предположение, что именно при измерении ее координат получена опытная точка г, т. е. именно эта точка является источ­ ником появления опытной точки z, значение весовой функции должно быть большим, чем для любой другой точки на кривой S. По этой причине функцию ф ( £ ) можно трактовать как весовую функцию гипотезы £ о положении на кривой 5 точки, координаты которой измеряются в данном опыте.

В соответствии с изложенным весовой функцией ф ( £ ) опреде­ ляется та окрестность точки £ на кривой 5, по которой берется криволинейный интеграл первого рода при вычислении полной плотности вероятности реализации z случайного вектора г* . По­ этому можно считать, что интегрирование в правой части (7.2.12) должно проводиться по всей длине кривой S, определяемой кон­ кретными условиями эксперимента, учитываемыми весовой функ­

Здесь плотность вероятности реализации z случайного векто­ ра z * уже в явном виде содержит оцениваемый параметр q, поэтому выражение (7.2.13) может быть использовано для записи функции правдоподобия. По форме записи функция правдоподобия совпадает с выражением для плотности вероят­ ности полученных в процессе эксперимента результатов измере-

199

ний, записанным так, что оно в явном виде содержит вектор оце­ ниваемых параметров. Поэтому для рассматриваемой задачи оценки параметра q кривой 5 функция правдоподобия имеет вид

следует заметить, что нормирующий коэффициент k как постоян­ ная величина от q' не зависит.

Значение q варьируемого параметра функции правдоподобия при котором функция правдоподобия L(q') принимает наиболь­ шее значение, принимается за оценку максимального правдопо­ добия неизвестного параметра q кривой 5 :

L (q) = max L (q').

{<?'}

Функция правдоподобия (7.2.14) записана для случая нали­ чия в эксперименте одной лишь опытной точки, т е для ^ = 1 При проведении нескольких пар измерений функция правдопо­ добия может быть записана из выражения для совместной плот­

ности вероятности всей измерительной информации, полученной при измерении координат N точек на кривой S.

Если условия эксперимента таковы, что ошибки измерений координат последовательных точек £* на кривой 5(г=1 2 N) статистически независимы, функция правдоподобия будет’иметь вид произведения N правых частей равенства (7.2.14) записан­

ной л ЛЯ каждой из 0ПЬ1™ых точек. Получить функцию правдодо ия при статистически зависимых в совокупности ошибках

измерении можно было бы путем перехода от полной плотности ероятности результатов измерений координат о д н о й т о ч к и на кривой 5 к полной плотности вероятности результатов измерений координат N точек на кривой S(W >1). Но это вызовет в общем случае большие трудности. щ ш

Бозвращаясь от задачи оценки параметра кривой 5 к оценке

стаРтиоовРятьМчДеЛИ Движения космического объекта, можно конатировать, что по изложенной методике может быть построена

функция правдоподобия в том случае, если по условиям экспери мента ошибки измерении связаны лишь изохронной статистическо„ зависимостью. Изоканальные и перекрестные Lppe™ ци„„ ые связи между ошибками измерений эта методика построения функции провдоподобия достаточно просто учитывать неТозво

Подобным же образом может быть построена функция прав­ доподобия и в задачах оценки параметров модели движения космического объекта общего вида. В этом случае моделГдви жения космического объекта может быть интерпретирована как уравнение кривой в многомерном (p + s + 1-мерномГпрос^ан-

200

стве.' Дальнейшие рассуждения аналогичны приведенным выше для задачи оценки одного параметра модели движения космиче­ ского объекта, содержащей одну ординату и одну координатную функцию, поэтому здесь не рассматриваются.

§ 7.3. ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКИ ЗАВИСИМЫХ В СОВОКУПНОСТИ ОШИБКАХ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассмотрим методику получения функции правдоподобия в задачах оценки параметров модели движения космического объ­ екта вида (7.1.1). Будем полагать, что условия эксперимента соответствуют § 7.1, т. е. ошибки измерений могут быть в сово­ купности статистически зависимыми. Очевидно, что при этих предположениях необходимо иметь такую методику получения функции правдоподобия, которая позволила бы учитывать не только изохронные, но и изоканальные и перекрестные корреля­ ционные связи между ошибками измерений.

Анализируя процесс получения функции правдоподобия в ус­ ловиях отсутствия изоканальных и перекрестных корреляционных связей между ошибками измерений, убеждаемся в том, что тре­ бование статистической независимости ошибок измерений в по­ следовательных точках реализуется только на этапе перехода от функций правдоподобия, соответствующих отдельным опыт­ ным точкам, к функции правдоподобия, соответствующей множе­ ству из N опытных точек. При построении функции правдоподо­ бия для каждой из N опытных точек это требование „не является существенным.

В то же время можно заметить, что функция правдоподобия для каждой опытной точки позволяет учитывать все возможные корреляционные связи между ошибками измерений при получе­ нии опытных значений ординаты и координатных функций моде­ ли движения в один фиксированный момент времени. -Отсюда следует, что если всю измерительную информацию рассматри­ вать как совокупность координат одной единственной опытной точки в N (р-1- 1) -мерном пространстве, то все корреляционные связи между ошибками измерений могут быть учтены.

Для дальнейшего изложения будем использовать матричную символику. При этом векторы будут представляться в виде одно­ столбцовых матриц (матриц-столбцов).

Вектор измерений?, характеризующий положение единствен­

Равенство (7.3.1) представляет вектор z в коагулированной форме. Подвекторы v и w вектора измерений г содержат своими компонентами полученную при проведении эксперимента измери­

201