Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

шение для вектора q , во втором случае конечного аналитическо­ го решения этого уравнения в общем случае нет.

Вектор оценок неизвестных параметров, удовлетворяющий уравнению правдоподобия, может оказаться смещенным относи­ тельно действительного значения. Специальными приемами это смещение может быть частично компенсировано.

Уравнение правдоподобия (7.5.2) определяет связь между

вектором оценок q и полученной в процессе эксперимента изме­ рительной информацией, представляемой вектором измерений Z. Связь между этими векторами в уравнении правдоподобия носит неявный характер. Для дальнейшего изложения уравнение прав­ доподобия (7.5.2) удобно записать в виде

где f ( q , z ) — векторная функция векторов q и z, совпадающая с левой частью уравнения правдоподобия (7.5.2).

Случайные векторы q* и z * также удовлетворяют уравнению

правдоподобия (7.5.3), поскольку случайность вектора q * опре­ деляется в конечном счете его зависимостью от случайного век­ тора z* через уравнение правдоподобия. Таким образом,

По определению, смещение оценки вектора неизвестных пара­

метров есть математическое ожидание случайного вектора бq* такого, что

4 * = q * - q ,

где, как указывалось выше, q* — случайный вектор оценок неиз­ вестных параметров, a q — точное значение вектора оценивае­

мых параметров. Разлагая векторную функцию f{q*,z *) в ряд окрестности точного значения вектора оцениваемых параметров, с точностью до членов высших порядков малости получим

где Q(q, z*) — матрица частных производных от компонент век­

207

Поскольку векторы q * и z* удовлетворяют соотношению (7.5.4), равенство (7.5.5) может быть записано так:

держит членов, учитывающих корреляционные связи между ком­

понентами векторов bq* и г*. Эти члены являются членами выс­ ших порядков малости и в приближенных расчетах могут быть опущены. С учетом допущения (7.5.8) получаем

Формула (7.5.9) определяет смещение вектора оценок неиз­

вестных параметров. Из этой формулы следует, что смещение от­ сутствует, если

В случае когда матрица частных производных Q(q) неосо­

бенная, условие несмещенности вектора оценок q'f является не­ обходимым и достаточным. Неособенность же матрицы Q(q) является необходимым условием существования решения урав­ нения правдоподобия, поэтому всегда имеет место для рассмат­ риваемого класса задач оценки параметров.

Используя полученное выше условие* несмещенности оценок (/.о.Ш), люоое уравнение для получения оценок неизвестных параметров можно преобразовать так, что его решением будет вектор несмещенных оценок. Действительно, пусть уравнению

(7.5.3) удовлетворяет смещенная оценка q вектора q, г. е. функ­ ция / (q, Z) не удовлетворяет условию несмещенности оценок

(7.5.10). Тогда, введя векторную функцию векторов а* и z* ко­ торую мы определим равенством

можно записать уравнение для несмещенных оценок вектора

неизвестных параметров. Очевидно, что таким уравнением яв­ ляется

208

т. е. уравнение (7.5.12) удовлетворяет условию несмещенности оценок (7.5.10).

Из сказанного выше следует, что в случае применения для оценки неизвестных параметров метода максимального правдо­ подобия уравнение правдоподобия должно быть несколько пре­

В заключение отметим, что изложенный способ устранения смещений оценок неизвестных параметров является достаточно общим и может быть использован для преобразования не толь­ ко уравнений правдоподобия, но и любых уравнений оценок, как линейных, так и нелинейных.

§ 7.6. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА ОЦЕНОК НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Одним из важнейших этапов статистической оценки пара­ метров модели движения космического объекта является оценка точности получаемых после обработки экспериментальных дан­ ных результатов. Достаточно полной характеристикой точности

вектора q, являющегося несмещенной оценкой вектора оценивае­ мых параметров q , может служить корреляционная матрица Bq

случайного вектора q *, реализацией которого в проведенном

эксперименте был вектор q ■

Рассмотрим приближенную' методику получения корреляци­ онной матрицы оценок. Эта методика может оказаться полезной в случае, когда уравнения праводоподобия не имеют конечных аналитических решений, т. е. оценки неизвестных параметров должны отыскиваться численными методами. Кроме' того, эта методика может значительно упростить процедуру оценки точ­ ности результатов, если уравнения правдоподобия хотя и раз­ решимы аналитически, но дают сложные зависимости оценок от компонент вектора измерений.

В предыдущем параграфе показано, что любое уравнение оценок может быть преобразовано так, что его решением будет несмещенная оценка вектора неизвестных параметров q. Поэто­ му будем считать, что уравнение оценок (7.5.3) удовлетворяет условию несмещенности оценок (7.5.10).

209