Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 233

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Обозначив сомножители, не зависящие от матрицы fiz, через /г, получим

р{А) = к \ В г \ 2(" ' ’ехр

(6.6.10)

Ввиду того что исследование на максимум функции (6.6.10) можно производить с ее логарифмом, запишем

1п/?(А) = 1п&----1 ( п - 1) In | Bz I - 4 - Sp ЯГ1A.

Последняя формула с учетом равенства (6.6.2) преобразует­ ся к виду

\np{S) = \ n k ----

l- ( n - 1) [lnlfiJ + S p fir1^]. (6.6.11)

6.6.2. Уравнение правдоподобия для факторной модели

В § 6.5 для измеряемого параметра движения x(t) была ис­ пользована формальная модель в виде ряда (6.5.5). Введем в рассмотрение факторную модель

1

в которой функции lj(t) (/= 1, ..., г ) — неизвестные факторные нагрузки, a fj — простые факторы, о которых известно, что

f ) ^ N { 0, 1) ' ( у =1, . . . , г).

(6-6.13)

Если в модели (6.5.5) система

функций {фз(/)}

выбиралась

в некоторой степени произвольно,

то в модели (6.6.12) система

факторных нагрузок {lj(t)} определяется оптимальным образом

с использованием функции (6.6.11).

измерений

имеем

Итак, для дискретных моментов времени

систему условных уравнений

 

 

 

z i — ^ Ijjf) "Тh-i

(i — 1,...,

N),

(6.6.14)

j-i

 

 

 

hi(zN (0,

*0/YJi)-

 

(6.6.15)

С учетом функциональной зависимости случайных величин (6.6.14) и информации о их распределении (6.6.13) и (6.6.15) корреляционная матрица В2 вектора z записывается в виде

187

B z = LLT + 3l Р ~ \

16.6.16)

где

 

 

 

^11

Ki

■ .1

 

l%

^22

• .1

 

Ini

Ini ■ ■i

 

неизвестная матрица факторных нагрузок.

Для определения матрицы факторных нагрузок применим метод максимального правдоподобия, в соответствии с кото­ рым необходимо максимизировать функцию (6.6.11) по элемен­ там матрицы L. Необходимые условия экстремума записывают­

ся в виде системы уравнений

 

 

д In р (S) = 0 ( / = ! , . . . , N; у =1 ,

, г).

(6.6.17)

61и

 

 

Для записи уравнений (6.6.17) в развернутой форме установим некоторые правила дифференцирования функций от матриц по параметру. Дифференцируя тождество

BzB J l— E

по параметру lih получаем

 

 

 

5-1

п

dl.. Bz

О dBz

^ B z — 7— = 0,

ч

dl..

 

ч

 

откуда легко получить правило

дВ~г

=

- В Т '

4 ^ -

ВТ 1.

(6.6.18)

dl..

 

z

dl..

 

ч

 

 

ч

 

 

Производная от логарифма определителя матрицы записывается в виде

д И | Bz |

l-i

d I Bz

B, 1 ХП д [ Bz

dbc,(3

В :

dl.V

 

dl..

2

dba,p

dl..

 

 

ч

a,(3

 

ч

Алгебраические дополнение (5 Д р можно рассматривать как

частную производную

| B z \ по Ьа?, а

I Bz I (ДДр является элементом bа'9 обратной Отсюда легко получается правило

d In 1Bz |

Sp

в

dBz

dl..

dl..

 

 

ч

 

 

ч

произведение матрицы В ~ х .

(6.6.19)

188

i

Применяя правила (6.6.18) и (6.6.19) при дифференцирова­ нии функции (6.6.11), получим

д In р ( § )

 

Sp

В3 - 1

dBz

дГ.

 

 

 

 

dl..

ч

 

 

 

ч

, dBz

, ~

(*'*= I,-. -,

АГ;

 

- s P ( « 1—

B J 'S

г ).

ч

 

 

 

 

Используя свойства

S p ( 4 + £ ) = S p . A + Sp£;

S p 4 £ = Sp£>l,

справедливость которых легко установить непосредственной про­ веркой, получим уравнения (6.6.17) в виде

SP

dBz

B ~ l -

- § ^ B 7 1S B 7 l \ = О

(/ = 1,. . N; у= 1,. . ., г).

dl

 

чч

( 6. 6. 20)

Можно показать, что левая часть уравнения (6.6.20) являет­ ся элементом /-й строки и г'-го столбца матрицы

LTB 7 1- L rB 7 1S B 7 l,

откуда уравнение*(6.6.20) можно записать в виде

LTB 7 1- L TB 7 1S B 7 1= 0.

Последнее уравнение с использованием выражения (6.6.16) может быть преобразовано к виду [41]

1Т= (1ТЯ 1 )-1Г Я ( S - ^ P - 1).

(6.6.21)

Уравнение (6.6.21) является уравнением правдоподобия для матрицы L и будет использовано в дальнейшем для ее опреде­ ления. Так как факторные нагрузки находятся лишь «с точно­ стью» до преобразования вращения, то с целью получения одно­ значного решения накладывается условие, чтобы матрица

A = LTPL

была диагональной с расположением элементов в порядке их убывания.

Если предположить, что матрица L факторных нагрузок уже вычислена (вычислительная процедура рассмотрена в гл. IX), то значения самих факторов в серии испытаний с номером а мо­ гут быть найдены по методу максимальной апостериорной ве­ роятности. Из постановки задачи (6.6.18) — (6.6.15) следует, что

189

оценки определяются по формуле

f a = (E + A r lV°lPza.

(6.6.22)

Окончательная оценка измеряемого параметра с учетом оце­ нок для факторных нагрузок, самих факторов и их числа имеет вид

x ( t ) = y .

. (6.6.23)

HI

 

Оценка (6.6.23), как и (6.5.15), по структуре является линей­ ной. При необходимости можно использовать нелинейную фак­ торную модель, в которой учитываются взаимные произведения и степени простых факторов.

Факторный анализ, очевидно, с успехом может быть исполь­ зован для разработки модели верхней атмосферы, для уточне­ ния модели гравитационного поля Земли с учетом аномалий си­ лы притяжения. Однако факторные модели требуют большого объема измерительной информации и сложных методов ее об­ работки, что в значительной степени препятствует пока широко­ му распространению факторного анализа в экспериментальной космической баллистике.

Гл а в а VII. МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ НАЛИЧИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ В ОПЫТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИИ

Модель движения космического объекта определяет связь между контролируемыми переменными и параметрами модели. Значения контролируемых переменных в ряде точек на интерва­ ле опыта могут быть либо известными точно, либо доставлены проводимыми в процессе эксперимента измерениями. Неизвест­ ные параметры модели подлежат оценке путем статистической обработки результатов измерений.

Уравнение, входящее в модель движения космического объек­ та, записывается обычно так, что одна из контролируемых пере­ менных является его ординатой. В качестве ординаты уравнения выступает, как правило, одна из тех контролируемых перемен­ ных, значения которых в опытных точках получаются путем про­ ведения измерений. Остальные контролируемые переменные об­ разуют совокупность абсцисс или координатных функций урав­ нений модели.

В предыдущих главах рассмотрены методы оценивания параметров модели движения космического объекта в предпо­ ложении, что значения всех координатных функций в дискретные моменты времени известны точно. Такой подход к построению алгоритмов оценивания параметров модели движения космиче­ ского объекта не может быть признан общим, поскольку в прак­ тике решения задач экспериментальной космической баллисти­ ки нередки случаи, когда измерениями доставляются не только опытные значения ординат уравнений модели движения косми­ ческого объекта, но и всех координатных функций или части их. Иными словами, при оценке параметров моделей движения раз­ личного типа (конечных аналитических и динамических) прово­ димые измерения могут затрагивать не только левые, но и пра-

191

Смотрите также файлы