Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

(8.2.9)

В выражении (8.2.9) ЖЕ и Во— матрицы АЕ и Во, в которых элементы, являющиеся компонентами вектора оцениваемых па­ раметров <7, заменены одноименными компонентами вектора варьируемых параметров функции правдоподобия:

а е —. а е \q = q>,

&'т|т;

а' —\а[а'2 *'•= \\Ь'А ■■■*;г-

Параметры а / и 6 / — варьируемые параметры функции правдоподобия. В зависимости от их значений меняется и зна­ чение функции правдоподобия. Те значения варьируемых пара­ метров, при которых функция правдоподобия принимает наи­ большее свое значение, являются максимально правдоподобны­ ми оценками неизвестных параметров.

Равенство (8.2.9) может быть принято в качестве исходного для получения функций правдоподобия с различными весовыми функциями ф (|, q ).. Подставив в это выражение весовую функ­ цию конкретного вида и взяв интеграл в правой его части, полу­ чим функцию правдоподобия, соответствующую взятой весовой функции.

Подстановка в (8.2.9) равномерной весовой функции (7.4.1) приводит к следующему выражению для функции правдоподо­

мерной весовой функции.

Интеграл в правой части (8.2.10) представляет собой много­ мерный поверхностный интеграл первого типа по поверхности, являющейся гиперплоскостью в N ( p + 1)-мерном пространстве. Для нормального закона распределения вектора ошибок изме­ рений Л*область Z возможных значений измеряемого вектора g

217

представляет собой непрерывное множество векторов £, удовле­

мальном распределении вектора ошибок измерений пределы ин­

в правой части (8.2.10), запишем выражение для функции прав­ доподобия в задачах оценки параметров линейной относительно вектора оцениваемых параметров модели движения при наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций с равномерной весовой функцией. Это выражение имеет вид

П1

Lc (q') = k ( 2 л Г Т I Bh\ Т I А е АЪ 11АеВ н1Ае \ X

и (8.2.9) может быть получено выражение для функции правдо­ подобия в рассматриваемых задачах оценки параметров с веро­ ятностной весовой функцией. Эта функция правдоподобия имеет вид

Lp{q') = k{2n) %\ B h\ 2 \ а еА те \ AEB ^ A l \ X

где Lp (q) — обозначение функции правдоподобия с вероятност­ ной весовой функцией.

Проще всего получается функция правдоподобия L6 (q ') с весовой функцией вида (7.4.2), т. е. с весовой дельта-функцией. После подстановки этой весовой функции в общее выражение для функции правдоподобия (8.2.10) интеграл в правой части получившегося выражения в силу фильтрующего свойства дель­ та-функции равен подынтегральному выражению, в котором век­ тор § заменен вектором

218

Функция правдоподобия L6(#', Is'), определяемая равенством (8.2.13), содержит два вектора варьируемых параметров: q' и %&'■ Вектор варьируемых параметров определяется равенст­ вами:

(8.2.9) в качестве весовой дельта-функции область Z возможных значений измеряемого вектора % становится состоящей всего из одного вектора %{,, компонентами которого являются точные зна­

новится векторным параметром функции правдоподобия. Это означает, что компоненты вектора |а подлежат оценке наряду с компонентами вектора неизвестных параметров модели движе­ ния Q. За оценку максимального правдоподобия вектора при­ нимается такое значение вектора варьируемых параметров функции правдоподобия %в', при котором эта функция прини­ мает наибольшее свое значение, причем варьирование парамет­ рами q' и \ь должно проводиться одновременно.

§8.3. ОБОБЩЕННЫЙ КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОЦЕНОК

Спомощью каждой, из весовых функций (равномерной, ве­ роятностной и дельта-функции) получены различные функции правдоподобия, которые могут служить для определения оценки

q вектора оцениваемых параметров#. Уравнения правдоподо­ бия, отвечающие каждой из полученных функций правдопо­ добия, имеют в общем случае вид, определяемый равенством

(7.5.2).

Однако для полученных функций правдоподобия уравнения правдоподобия могут быть записаны несколько иначе. Это обус­ ловлено тем, что функции правдоподобия содержат векторы варьируемых параметров в показателе экспоненты. Чтобы изба­ виться от экспоненциальной зависимости функции правдоподо­ бия от вектора варьируемых параметров, необходимо перейти к натуральному логарифму функции правдоподобия. Поскольку натуральный логарифм является монотонной функцией своего аргумента, возрастающей при возрастании последнего, функция правдоподобия и ее натуральный логарифм достигают экстре­ мальных значений одновременно. По этой причине уравнения

'правдоподобия, отвечающие функциям правдоподобия с векто­ рами варьируемых параметров в показателе экспоненты, могут

219

быть в общем случае записаны следующим образом:

Оценка q вектора q, удовлетворяющая уравнению правдопо­ добия (8.3.1), может оказаться смещенной. Для частичной ком­ пенсации этого смещения уравнение правдоподобия может быть преобразовано по методике, изложенной в § 7.5. По этой мето­

дике уравнение для несмещенной оценки q вектора q , соответ­

ствующее уравнению правдоподобия (8.3.1), должно быть запи­ сано в следующем виде:

для функций правдоподобия с равномерной и вероятностной весовыми функциями, т. е. при т = с и т = р. Для функции прав­

доподобия с весовой дельта-функцией уравнения длянесмещен­ ных оценок будут иметь вид

стаВоиен1кСФ° РМУЛИРОВаТЬ обобщенный критерий оптимальнооценок в задачах оценки параметров, линейных относитель-

ческих'объектеНИВЗеМЫХ ПаРаметР°в Аделей движения косми1ССКИХ объектов при наличии ошибок измерений в опытных зна-

чается в^том К00Рдина™ых ФУ^Дий. Этот результат заключается в том, что все три указанные функции правдоподобия

после указанного преобразования приводят к одному и тому же

оамеНтппИвЮ/ Л5 Г Сп еЩеННОЙ °Ц6НКИ * ВекТ0Ра оцениваемых па­ раметров q. Это уравнение имеет вид

а? (д')

dq' о . (8.3.4) q =q

220