11.7.1. Выбор модели траектории движения
Из теории кеплеровых движений известно, что в центральном поле притяжения движение космического объекта совершается в неподвижной плоскости, проходящей через центр притяжения.
Траектория замкнутого движения в общем случае представляет собой эллипс.
Уравнение эллипса может быть записано в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с центром эллипса:
где й большая полуось эллипса, а Ь— малая, или, например,
в полярной системе координат, центр которой совпадает с притя гивающим центром:
------ Р
1 + е c o s &
В последнем случае имеем модель (1.3.2).
Для первой модели траектории движения уравнение измере ний имеет вид
Оцениваемыми параметрами являются а и Ь.
Для второй модели траектории движения уравнение измере ний имеет вид
H = r - R .
Оцениваемыми параметрами являются р и е. Из этих урав нений видно, что использование первой модели затруднительно, так как необходимо каким-то образом привязать измерения к ординате х2. Между тем для второй модели измерения могут быть привязаны к истинной аномалии •б', а через нее — ко време
ни. Поэтому из данных моделей целесообразно выбрать модель
(1.3.2).
11.7.2. Проверка наблюдаемости
Рассматривая истинную аномалию $ в качестве аргумента времени, составим матрицу наблюдаемости (11.2.5) для данного ' случая. Так как оцениваемых параметров два, то необходимо рассмотреть измеряемый параметр и его первую производную:
их{р, е, &)= |
R; |
1 + |
е c o s 8- |
( 1 + |
е c o s 8 ) 2 |
Найдя частные производные от этих функций по оцениваемым параметрам, получим матрицу наблюдаемости
1 |
р c o s Я |
1 - f - е c o s Я |
( l - j - e c o s 9 ) 2 |
е s i n Я |
р s i n Я (е c o s Я — 1 ) |
( 1 - i - е c o s Я ) 2 |
( 1 + в c o s Я ) 3 |
Определитель матрицы
, ,. , |
о s i n Я |
= |
— sin ft. |
d e t/ = |
----------------- |
|
( 1 - н е c o s Я у * |
|
/> 3 |
Из последнего выражения следует, что ранг / = 2 на всем от резке [0, 2 л], за исключением точки апогея Ьа= л и точки пери гея f>n= 0. В этих точках ранг / = 1, т. е. критерий локальной на блюдаемости не выполняется. Однако видно, что измерений в этих двух точках достаточно для однозначного определения па раметров р и е (напомним, что данный критерий наблюдаемости является только достаточным). Наличие этих точек свидетельст вует в данном случае о наличии вырожденных программ измере ний. Действительно, легко заметить, что по любым двум изме рениям, расположенным симметрично относительно фокальной оси эллипса, проходящей через точки Фа и \%, задача определе ния параметров орбиты не имеет решения. Следовательно, с точ ки зрения наблюдаемости мерные участки целесообразно выби рать так, как показано на рис. 11.7.1, а, т. е. асимметрично отно сительно фокальной оси.
Рис. 11.7.1. Расположение мерных участков для радиовысото мера на кеплеровой траектории
11.7.3. Выбор метода обработки результатов измерений
Предположим, что параметры нулевого приближения р0 и е0 известны. Тогда уточняющие поправки Ар и Ае могут быть най дены с использованием линеаризованной зависимости
Дг |
р о c o s Я |
Ае. |
1 во c o s Я |
( 1 + £ 0 c o s Я ) 2 |
|
Пусть измерения проводятся при дискретных значениях аргу мента Фч (t = 1,..., N). Имеем следующую систему условных урав-
нении:
Д*/ = |
ДД |
Д о c o s *>/ |
+ е0 c o s ft,- |
- \ e - \ - h i (i = 1...............V'i. |
1 |
( 1 + е0 c o s ft,-) |
где hi t i V ( 0 , |
з ) . |
|
Если значения ft* известны точно, то оптимальные оценки на ходятся по методу наименьших квадратов:
1 -4- е 0c o s ft,-
\е |
|
ро c o s |
8 , - Л г ; |
( 1 + е 0 |
c o s ft,-)3 |
:i ;=i
где матрица
|
дг |
1 |
у |
A" |
Po cos ft,- |
|
|
V / |
v |
|
|
1 + «о cos ft; |
/ |
(1 — e0cos ft,-)3 |
|
i=i |
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
A’ |
|
|
N |
|
* |
|
Ро cos |
|
Доcos ft, |
\- |
|
v |
|
V |
|
(1 + e0cos ft,)3 |
(1 — e0cos ft,-)3 j |
|
1=1 |
|
|
|
/ =1 |
|
|
Если Ф* измеряются с ошибками, то приближенно оптималь ные оценки находятся по модифицированному методу наимень ших квадратов:
|
|
V |
|
-^1 |
ДР |
( С - V'i—1 |
1= 1 1 + |
во c o s f t j |
|
|
|
\е |
|
V |
|
Ро c o s &,Аг,- |
|
|
|
|
|
( 1 |
+ е0 c o s ft,-)3 |
|
|
1-1 |
|
|
|
|
где компенсационная матрица 2 определяется на основании ста-* тистических характеристик ошибок расчета частных производ
ных ---- |
и —— по формулам, приведенным в § 8.6. |
др |
де |
Предположим, что ошибками в определении д, можно прене бречь, и исходя из этого выберем метод наименьших квадратов.
11.7.4. |
Выбор программы измерений |
|
Для определения оптимальных мерных точек |
воспользуем |
ся последовательным |
D-оптимальным планированием. Пусть |
первые т точек оптимальной программы известны и им соответ ствует диагональная корреляционная матрица оценок
Тогда оптимальная последующая точка Фт +1 в соответствии с условием (11.4.9) определяется путем максимизации выраже ния
|
о ~ р п COS ft |
r 2 |
/ 2 , 2 2 „ n о \ |
|
е |
___________ |
' 0 |
(1 + e g c o s ^ ) 2 |
(1 + |
£ q COS f t) 2 |
— |
(3p + V rocos2») , |
P0 |
|
|
|
|
из которого следует, что Фт+^ФаИли dm+i = й 'л:. Таким рбразом, точки апогея и перигея в данном случае являются точками сгу щения в оптимальной программе измерений. Следовательно, мер ные участки целесообразно выбирать так, как показано на рис. 11.7.1, б, т. е. в районе перигея и апогея.
11.7.5. Проверка адекватности
Пусть по результатам реальных измерений найдены оценки параметров
р = р й±Ар\ <? = ц0+ ДЩ
Тогда по формуле
hi = Zi--------- |
1------ |
— R ( /= 1, .. ., TV) |
1 |
+ е cos ft,- |
|
находятся оценки ошибок измерений и далее определяются вы-
А А
боронные параметры распределения т и о.
Предположим, что а ^ о и т=/=0. Проверим гипотезу о том, что ошибки измерений являются несмещенными. Для этого необхо димо задаться ошибкой первого рода а и по ее значению и зна чению числа измерений N в таблице нормального распределения [34] отыскать аа-процентное отклонение нормальной случайной величины. Если окажется, что неравенства (11.6.8) не удовлетво ряются, то полученное решение можно считать достоверным. Ес ли же выполняется , одно из неравенств (11.6.8), то условие адекватности не выполняется. В этом случае следует рассмот реть эллипсоидальное поле притяжения или учесть возможные ■неровности рельефа поверхности планеты.
