Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

— множество недопустимых планов, удовлетворяющих ус­ ловию

А у > г.

Пусть эффект использования того или иного способа вычис­ лений определяется критерием

/ = сту,

где с = ( с ь сп) — вектор эффектов.

Тогда способ обработки, который максимизирует эффект, бу­ дем называть оптимальным. Итак, задача выбора оптимального способа обработки измерительной информации заключается в

сопряжено с большими трудностями. Задача выбора оптимально­ го способа обработки измерительной информации часто не мо­ жет быть четко поставлена и строго решена. Для получения ка­ ких-то практических рекомендаций бывает необходимо прово­ дить трудоемкие исследования. Показательным примером в этом отношении является работа группы авторов [45], в которой обсуждается проблема, связанная с выбором оптимального ме­ тода обработки данных орбитальных измерений. Рассматрива­ ются два из возможных метода обработки измерительной инфор­ мации: метод наименьших квадратов и метод наименьших моду­ лей. Напомним, что первый метод связан с критерием (5.1.5), а второй — с критерием (5.1.4). При сравнении методов принима­ ются во внимание эффективность оценок и вычислительные осо­ бенности. Многочисленные расчеты, проведенные на основе моделируемых и экспериментальных данных, позволяют сделать вывод, что метод наименьших модулей является более оптималь­ ным в том случае, когда измерительная информация содержит грубые ошибки. Этот метод более устойчив по отношению к от­ клонению закона распределения ошибок измерений от нормаль­ ного, практически он может работать без предварительной от­ браковки анормальных измерений. Оптимальность же метода наименьших квадратов всецело связана с нормальностью закона распределения ошибок измерений.

Рассмотрим еще один пример выбора одного из двух методов обработки измерительной информации: метода максимального правдоподобия и метода максимальной апостериорной вероят­ ности. Проблема, связанная с целесообразностью учета априор­ ной информации статистического характера, рассматривалась в

318

§ 6.2. Было показано, что априорная информация может как улучшать, так и ухудшать качество оценок.

Пусть имеется'задача

правдоподобия,

q = C~l'b'1Pz,

где

C = W^PW.

Оценка вектора, определяемая по методу максимальной апо­ стериорной вероятности,

^ С в Ч ^ Р г + В^ тд),

где

' CB= a o \- TPW -'Г В ~ \

Точность оценок характеризуется следующими корреляцион­ ными матрицами:

(11.5.10)

В я = °в 1 [°оС+ В7 ' т «] ^ ~ т^ Вя!\ Сб ’1- (11 -5.11)

Матрица (11.5.11) определена не полностью, так как зависит

от неизвестного вектора q. Подставив в (11.5.11) оценку £ , най­ дем приближенную оценку матрицы

[ Ф + В ? { Я - т 9) С д - т чУ В ' 1] Св \

Если теперь в качестве критерия точности оценок взять опре­ делитель корреляционной матрицы, то априорную информацию целесообразно учитывать в полном объеме тогда, когда выпол­ няется неравенство ' • *

\CB\ ^ \ C \ \ , l C - \ - B ~ l { q ~ m q) { q - m qr B - l \. (11.5.12)

Так как в вычислительном отношении рассматриваемые ме­ тоды равноценны, то в случае выполнения неравенства (11.5.12) для обработки измерений следует применить метод максималь­ ной апостериорной вероятности.

319

Иногда в проблеме выбора метода достаточно учесть только его вычислительные особенности. Например, если функция прав­ доподобия L(z; q) является унимодальной и четной по каждой переменной qj (/=1, г), то можно показать, что любая четная

также по каждой переменной функции потерь W(q, q) эквива­ лентна простой функции потерь в том смысле, что соответству­ ющие им оценки совпадают. В этом случае среди функций по­ терь (5.6.4) следует выбрать ту, которой соответствует наименее трудоемкая вычислительная процедура.

§ 11.6. АДЕКВАТНОСТЬ

Одной из задач планирования летного баллистического экс­ перимента является проверка правильности решения задачи оп­ ределения и анализа движения. Погрешности могут возникнуть как в постановке задачи, так и в алгоритме ее решения. Пра­ вильность алгоритма можно установить путем непосредственной проверки вычислительных операций. Труднее установить пра­ вильность постановки задачи.

11.6.1. Понятие адекватности и методика ее проверки

При совместном рассмотрении модели движения космическо­ го объекта и модели измерения, с одной стороны, и условий из­ мерения, с другой, — возникает вопрос о тождественности мате­ матической модели движения и модели измерения реальному летному эксперименту. Исчерпывающей информацией о реаль­ ном эксперименте являются измерения, проводимые во время эксперимента, поэтому вопрос тождественности математической модели задачи реальному эксперименту можно рассматривать как вопрос соответствия модели задачи условиям измерения.

Условие, при котором модель задачи определения и анализа движения соответствует условиям измерения, называется усло­ вием адекватности. Проверка адекватности имеет большое практическое значение, так как только при выполнении этого ус­ ловия можно получить правильное решение задачи. В общем случае проверка адекватности относится к статистической про­ верке гипотез и классификаций измерений, и для этой цели мо­ гут быть использованы разработанные в статистике критерии.

Адекватность з'ависит как от модели движения, так и модели измерения.

Определение. Система уравнений движения и уравнений из­ мерения X— Y на интервале времени [О, Т] называется адекват­ ной действительному движению, если справедлива нулевая ги­ потеза о принадлежности, оценки вектора ошибок к совокупнос­ ти, заданной в условиях проведения измерений:

Н а = Н 0 [h*£j>{h)\.

320

Проиллюстрируем это определение на простых частных слу-. чаях.

С л у ч а й 1. Пусть движение объекта приближенно описы­ вается системой нелинейных дифференциальных уравнений

М= / \ 1-Й-----1,

снеизвестными начальными условиями.

Измеряемая функция на интервале [О, Г] задана в виде

Допустим, что условия опыта известны точно и заданы в сле­ дующем виде:

Тогда адекватность определяется только моделью движения. А именно модель движения адекватна реальному движению, если в результате оценивания начальных условий движения

принадлежат с заданной надежностью ро нормальному распре­ делению с нулевым математическим ожиданием и средним квад­ ратическим отклонением сг.

Для этой цели необходимо подсчитать выборочные значения параметров распределения по формулам:

и сравнить их с заданными. Для проверки математического ожи­ дания можно использовать d-критерий, а для проверки среднего

квадратического отклонения — х2_кРптеРИ1”1[34].

С л у ч а й 2. Пусть на интервале [О, Г] задана измеряемая функция

У = У(.-*-10> • ■•»-*ло;

Предположим, что условия проведения измерений прибли­ женно могут быть заданы в следующем виде:

В этом случае адекватность определяется только условиями измерений. Методика проверки адекватности та же самая, что и в первом случае. Однако если условие адекватности не выполне­ но, то необходимо уточнить условия проведения измерений, а

321