Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

не модель движения. Например, пусть достоверно известно, что движение объекта происходит по круговой орбите с неизвестным радиусом, а непосредственные измерения радиуса орбиты

оказываются возрастающей последовательностью времени.

Когда модель не адекватна условиям измерений, следует пе­ рейти к другим характеристикам помехи или предположить, что помеха является мультипликативной.

В условиях же первого случая следовало перейти от круго­ вой модели движения к эллиптической или параболической.

В общем случае как модель движения, так и условия изме­ рений могут быть заданы не точно. Пусть движение космическо­ го объекта описывается системой дифференциальных уравнений

блюдаемой и в результате решения задачи определения и анали­ за движения найдены оценки вектора начальных условий х0 =

тив сложной альтернативы Н = Н[ h*§p(h)].

2. Выбирается критерий для проверки гипотезы y = y[h, p(h)J

сизвестным законом распределения ф (у).

3.Назначается уровень доверительной вероятности ро и с его помощью и ф(у) определяется граница между областью допусти­

мых значений критерия {ОДЗ} и критической областью {КО}. 4. Вычисляется значение критерия y = y[h , p (h )\.

222

5. Если у^{О ДЗ}, то принимается Я0, тем самым условие адекватности выполняется.

Если у^{КО}, то условие адекватности не выполняется. Следует заметить, что адекватность является необходимым,

но не достаточным условием правильности постановки задачи. Может существовать такая комбинация погрешностей в модели

движения и условиях проведения измерений, что оценки дс0 и Ji, будут в сильной, степени отличаться от своих действительных значений, в то время как условие адекватности будет выполне­ но. Проверка адекватности еще не дает возможности выявить саму погрешность, а только свидетельствует о ее возможном присутствии. Важно также иметь в виду, что состоятельность критерия качества является необходимым условием для адекват­ ности. Если критерий качества решения не удовлетворяет этому требованию, то полученное решение может сильно отличаться от действительного даже тогда, когда модель движения и условия проведения измерений известны точно.

Условие адекватности может быть использовано не только для проверки правильности постановки задачи, но и для выбора одной модели движения или модели измерения из множества возможных.

11.6.2. Проверка адекватности в простых случаях .

Рассмотрим гипотезу Но, заключающуюся в том, что

h * QN( 0, а0),

и простую альтернативу Н\,>заключающуюся в том, что

. b * £ N ( m 1, dj). .

Обозначим соответственно Го и Г] — решения, состоящие в принятии гипотез Н0 или Н\.

Для проверки гипотез необходимо установить какое-то прави­

ло, согласно которому каждой выборке Л приписывалось бы од­ но из решений Го или Г[. Установление указанного правила, оче­

видно, эквивалентно разбиению пространства выборок {А} на две непересекающиеся области G0 и G\, такие, что

А 6 О0—>Г0; А 6 —»Гр

Область G0 называется областью допустимых значений, а об­ ласть G1— критической.

Любое правило проверки гипотез при отсутствии априорной информации о состоянии гипотез заключается в сравнении отно­ шения правдоподобия или его логарифма с некоторым порогом. Запишем отношение правдоподобия.

323

Обозначим выборочные значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения ошибок измерений соот­ ветственно через

TV

Тогда правило проверки гипотез можно сформулировать сле­ дующим образом. Принимается решение Гь если для наблюда­ емой выборки выполняется условие

и решение Го, если выполняется противоположное условие.. Ве­ личина порога с в выражении (11.6.6) назначается заранее.

При использовании любого правила возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода возникает, когда выборка попадает в Gi, а в действительности верна гипотезе И0. Условная вероят­ ность ошибки первого рода

и называется обычно уровнем значимости. Условная вероятность правильного решения принятия гипотезы Я 0 равна 1— а.

Ошибка второго рода возникает, когда выборка попадает в G0, а в действительности верна гипотеза # ь Условная вероят­ ность ошибки второго рода

? — Р (г о /^ i ) — [ Р (h/Hj)dh. Go

324

Вероятность 1—р отвергнуть ложную гипотезу называется

функцию распределения правдоподобия при условии, что выбор­ ка принадлежит распределению р(Ъ/Н х). Тогда

СО

где Fю и Fn — интегральные функции распределения отношения правдоподобия при гипотезах Но и Н х соответственно. Порог с назначается в соответствии с критерием, положенным в основу проверки гипотез. Для критерия максимального правдоподобия порог с= 1. Для критерия Неймана — Пирсона, обеспечивающе­ го минимально возможную величину |3 вероятности ошибки вто­ рого рода, при условии что вероятность ошибки первого рода а не больше заданной величины ао, порог находится из уравнения

Проиллюстрируем методику использования правила (11.6.6) проверки гипотез по критерию Неймана — Пирсона на простых примерах.

Среднее значение. Проверим гипотезу Н0 о том, что среднее значение нормальной случайной величины равно нулю при прос­ той альтернативе Н\, что среднее равно т\. Предположим, что дисперсия о 2 известна точно, т. е. Oo2 = O i 2 = o 2 . Тогда правило вы­ бора решения Г] в соответствии с (11.6.6) запишется в виде ус­ ловий выполнения следующих неравенств:

Так как т имеет нормальное распределение, то отношение правдоподобия также имеет нормальное распределение. Опреде­ лив с учетом этого из (11.6.7) величину с, получим

325

г д е а а— процентное отклонение нормальной случайной вели­

чины.

Дисперсия. Проверим гипотезу Я0 о том, что дисперсия рав­ на ао2 против простой альтернативы Я ь что дисперсия равна оц2. Предположим, что среднее значение нормальной случайной ве­

Так как No2/ol имеет %2-распределение с N степенями свободы, то, определив с в соответствии с (11.6.7), получим

®2> - ^ - 3оbl\ о! > з0;

N

где Ьа — процентное отклонение случайной величины, распреде­ ленной по закону x2 c N степенями свободы.

Заметим, что в обоих примерах правило не зависит от пара­ метров ти оь характеризующих гипотезу Я ь Поэтому в данных примерах результаты распространяются на случай сложной аль­ тернативы Я.

§ 11.7. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ

V

Рассмотрим методику решения задачи планирования на при­ мере задачи 1 (§ 1.3). Итак, пусть известно, что космический объ­ ект движется относительно Земли или другой какой-то планеты с центральным полем притяжения. На борту объекта имеется радиовысотомер, с помощью которого можно измерять высоту объекта над поверхностью планеты. Допустим, что измерения радиовысотомера содержат аддитивные независимые ошибки, распределенные по нормальному закону с известными парамет­ рами. Требуется планировать задачу уточнения траектории дви­ жения космического объекта по результатам ограниченного чис­ ла измерений. Подобную задачу приходится, например, решать при полете космонавтов на Луну.

326