ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
Подставляя |
значения |
производных и |
обобщенной силы (2Ф |
||||||||
в зависимость (11.78), |
получаем |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
' « 5 |
+ Т Г Г « ( ж У = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.80) |
|
где J' (ср) |
dJ ( ф ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d(f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
и преобразовав его, имеем |
|||||
Разделив выражение (11.80) на J (ф) |
|||||||||||
Л2 - |
( d(fA |
1 |
■''<»> й щ |
( 3 9 ’ - ™ |
Т 5 Г |
|
|||||
Vd/ 1 J |
(ф) |
|
|||||||||
|
|
|
в |
|
/ dcp\ 2 |
|
Mtnp |
|
|
(11.81) |
|
|
|
|
J (ф) |
Vdt ) |
|
J (Ф) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначая ^ |
|
d2(p |
dz |
запишем два дифференциаль- |
|||||||
|
at |
= z- a |
|
~ ~dt' |
|
|
|
|
|
||
ных уравнения |
первого порядка: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dcp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
Z: |
|
|
|
(11.82) |
|
dz |
_Mp (z ) __ J' (ф) |
2 __ F (0 |
__ |
F о __ Mmp |
|||||||
|
|||||||||||
dt |
~ |
J (Ф) |
2J |
(Ф) |
J ((f) |
J |
(Ф) |
J (ф) ' |
|
||
Обозначая правую часть второго уравнения системы (11.82) как / (t, ф, z), получаем следующую систему уравнений:
dcp
dt z\
(11.83)
dz
W = f V' ф’ 2)-
Для решения полученной системы уравнений (11.83) из-за нелинейности второго уравнения можно использовать аналоговые ЭВМ или простой и наглядный способ интегрирования уравнений, являющийся обобщением способа Эйлера—Коши.
Любому решению системы (11.83) соответствуют две интег
ральные кривые ф = Fx (t) и z = 4? |
= |
F 2 (t), |
которые должны |
||||
проходить через точки cp |t=t0 |
, „ ... |
dcp |
t=t о |
-о» |
являющиеся |
||
|
^ |
и |
Wut |
|
|
||
начальными заданными условиями при t = t0. |
|
|
перпенди- |
||||
Нанесем на плоскость zOt \cpOt) (рис. |
39) прямые |
|
|||||
кулярные оси Ot : t — t0, t = |
tx, |
t = |
t2, |
t |
= t„, |
и отложим |
|
отрезок OP, который должен служить единицей масштаба для |
|||||||
функций z и / (t, ф, z). Для |
построения |
кривых: |
|
|
|||
1) наносим две точки Л40 и N 0, соответствующие координатам
( іо. Фо) и (*о. z 0); |
z0 и / (f0, ср0, z0) при t = t0\ |
|
2) |
вычисляем функции |
|
3) |
откладываем по оси |
ординат отрезки ОА0 = z 0 и ОВ0 = |
=/ (*о. фо. z 0);
4)отрезки Р Л 0 и Р В 0 будут иметь соответственно угловые коэффициенты, равные z0 и f (t0, ф0> z0). Направлениям этих от резков, следовательно, будут соответствовать направления ин
тегральных кривых ф = Fi (t) и — F2 (t) в начальных точках
(*о. Фо) и N 0 (t0, zо); 5) из точек М 0 и N 0 проводим отрезки Л40М1 и N 0N X, параллельные соответствующим от
резкам РА о и Р В 0, до пересечения с линией t = tx,
Рис. 39. Графический способ интегрирования дифференци альных уравнений системы (II. 83)
6) полученные координаты точек M 1 (tx, cpj) и N x (tu zx) используем для вычисления функций zx и / (tx, фх, zx), значения которых откладываем опять на оси ординат в виде соответствующих отрезков ОАх и ОВх,
7) из точек |
и iVj проводим, как |
и |
ранее, |
отрезки М ХМ 2 |
|
и N XN 2 д о пересечения с линией |
tx = |
t%и т. д. |
t ^ Т, где Т |
||
Построение |
продолжается на |
отрезке |
времени |
||
— период максимального по длительности процесса, возмущающего динамическую систему.
Полученные две ломаные линии М йМ хМ 2. . . и N 0N XN 2 . . .
представляют собой приближения к соответствующим интеграль
ным кривым ф == Fx (t) и — Fч (t), являющимся решением
данной задачи. Достигаемая точность решения зависит от величины выбранного шага A t — tt — tt_i и растет при At —»0.
Данный графический способ интегрирования может быть обоб щен и на решение системы из п дифференциальных нелинейных уравнений первого порядка.
Одной из важных проблем при анализе переходных процессов в скоростных механизмах с переменным приведенным моментом
инерции является проблема уравновешивания сил инерции. При этом следует различать две задачи:
1) уравновешивание сил инерции, действующих на опоры ведущего вала;
2) уравновешивание крутящего момента от действия сил инер ции на ведущем валу.
Каждая из задач может быть решена отдельно, но возможно и их совместное решение.
Для решения первой задачи необходимо, чтобы центр инерции механизма при его движении не перемещался, т. е. радиус-вектор
гс, проведенный в центр инерции С механизма из какого-либо начала координат, должен подчиняться условию
гс — const или гс = 0.
Но это условие не является достаточным для уравновешивания крутящего момента от сил инерции. Решению первой задачи при менительно к сельскохозяйственным машинам посвящена работа В. Н. Болтинского [11].
Рассмотрим вторую задачу на примере механизмов с перемен ным моментом инерции J (ф), имеющих упругие элементы и при водимых через клиноременные передачи с моментом М р = М р (со). Уравнение Лагранжа второго рода для такого механизма с одной степенью свободы, т. е. с одной обобщенной координатой ф, будет
JLS>L _ |
&L 4- — = О |
(11.84) |
dt дф |
д<р ‘ <Эф |
|
где П — потенциальная энергия системы, запасаемая безынер ционным упругим элементом или грузом при изменении его по ложения
где М п (ф) — момент, |
развиваемый на ведущем валу вследствие |
изменения потенциальной энергии системы при |
|
движении. |
|
Подставляя в выражение (11.84) значения производных Т, |
|
П и обобщенной силы |
получаем |
|
(11.85) |
Задачей уравновешивания в данном случае является сведение к нулю крутящих моментов, которые при постоянной скорости ведущего вала или при скорости, близкой к постоянной, могут весьма значительно периодически изменяться. Для этого уравно-
86
вешивания требуется соблюдение следующего условия на основе
выражения (11.85) при ^ = const:
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(11.86) |
|
Так |
как на |
|
основании выражения |
(11.79) -j- J' (cp) |
j 2 = |
|||
= |
дТ |
, , |
, |
ч |
дП |
то условие уравновешивания |
моментов |
||
|
а — М п |
(ф) = |
|
||||||
от сил инерции |
можно записать в виде |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ° |
|
<п -87> |
или |
|
|
|
|
д (T |
П ) __ дЕ _ |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0ф |
— <5ф “ |
U’ |
|
где Е = Т + П — общее количество кинетической и потенциаль-
-ной энергии в механизме.
Условие дЕ = 0 равносильно условию Е — const.
Интересен один частный случай уравновешивания механизма. Если количество потенциальной энергии в механизме считается всегда постоянным или равным нулю, т. е. П = const или П =
= 0, то, очевидно, всегда ^ = 0 и условие (11.87) в данном слу
чае равносильно условию
|
|
|
|
|
|
|
-S “ |
0. |
(11.88) |
|
Условие |
|
= |
0 |
при |
Т — |
J (ф ) |
выражается так: |
|
дТ |
1 |
dJ (ф ) / |
d<f \ 2 |
- |
dJ (ф ) |
л |
равносильно |
||
дѵ=~2 |
ъ |
Ы |
) |
|
= 0 или - ^ - |
= 0- что |
|||
|
|
|
|
|
|
J (ф) — const. |
(11.89) |
||
|
Условие |
(11.89) |
можно |
сформулировать |
так: при отсутствии |
||||
в механизме |
устройств для периодического накопления и отдачи |
||||||||
потенциальной энергии уравновешивание крутящего момента от сил инерции возможно, если суммарный приведенный момент инерции на ведущем валу механизма будет постоянным, т. е.
J (ф) = J 1 (ф) + 7 2 (ф) + ■■•+ (ф) = const.
Таким образом, для полного уравновешивания крутящих моментов от сил инерции в механизме с переменным моментом
инерции J (ф), работающим при данной угловой скорости ,
необходимо, чтобы общее количество запасенной энергии в этом механизме оставалось всегда постоянным.
В действительности для большинства механизмов очень трудно обеспечить точное выполнение условий
|
дт |
дп_ |
или (Эср = |
|
|
|
|
ötp |
' д<р = 0 |
0. |
|
|
|
В связи с этим обычно проектируют механизмы с частичным |
||||||
уравновешиванием |
крутящего |
момента, |
возникающего от |
сил |
||
|
|
|
„ |
„ |
|
dw |
инерции на ведущем валу, при данной угловой скорости вала |
|
|||||
Частичное уравновешивание |
определяется |
условием |
|
|||
|
|
0 < |
|
|
(11.90) |
|
где I ô I — абсолютное |
значение |
максимально |
возможного |
или |
||
допустимого неуравновешенного момента при данной |
||||||
угловой |
скорости ведущего вала. |
|
|
|||
Величину Ô подбирают исходя из конструктивных, технологи ческих и специальных требований для конкретного механизма.
Условие (11.90) в соответствии с выражением (11.86) можно
записать так: |
|
— Мп (ф) |
(11.91) |
Уравнение движения механизма с частично уравновешенным крутящим моментом от сил инерции на основании зависимости (11.85) будет
■ ' ( Ф ) 5 ? = = - 6 ( Ф* I г ) + М р { ж ) ~ |
|
|
- F ( t ) - B ( f f - M mp. |
, |
(П.92) |
Для решения этого уравнения обозначим, как и раньше,
rdy _ |
d?ф _ dz_ |
ЧТ |
2’ W ~ ~ d t |
и, деля его на J (<р), получим два дифференциальных уравнения первого порядка:
|
|
|
|
Дф |
_ |
’ |
|
|
|
|
|
|
dt |
— |
|
|
|
dz |
_ |
ô (ф, г) |
. |
Мр (г) |
ß zz |
F (t) + Mmp |
(П.93) |
|
I t |
~ |
J (ф) |
+ |
J (Ф) |
~ |
J (ф) |
JT?) |
‘ |
Решение этих уравнений из-за нелинейности второго уравне ния можно выполнить на аналоговых ЭВМ или графически, как было сделано в этой главе.
В качестве примера рассмотрим использование метода частич ного уравновешивания крутящего момента от сил инерции для