Файл: Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии.pdf

для подобных процессов должно соблюдаться подобие полей * этих физических величин.

Так как скорость w представляет собой вектор, то одновремен­ но должно выполняться условие параллельности векторов в ка­ ждой паре сходственных точек обоих полей:

Подобие физических величин также может быть выражено с по­ мощью инвариантов подобия.

Например, если на входе в промышленную сушилку скорость газа Wg — 4 м/с, а в середине ее w' = 3 м/с, то в сечении, распо­

ложенном на половине длины сушилки

./ lw

Чтобы обеспечить подобие полей скоростей в промышленной сушилке и модели, необходимо соблюсти равенство инвариантов подобия і'ш= С ~ г'ш “ 0,75. Тогда, если принять скорость на входе в модельную сушилку равной ш" = 3 м/с, то на половине длины модели w" = w'giw — 3 • 0,75 — 2,25 м/с.

Подобие граничных и начальных условий

При теоретическом исследовании любого технологического про­ цесса на основе одного или нескольких физических законов состав­ ляют систему дифференциальных уравнений, описывающих этот процесс. Такая система уравнений устанавливает связь между про­ странственно-временными изменениями физических величин, ха­ рактеризующих изучаемый процесс в самом общем виде. Чтобы из общего описания целого класса однородных процессов выделить один конкретный, необходимо ограничить систему дифференциаль­ ных уравнений определенными условиями: 1) заданным распреде­ лением в пространстве (или объеме) важнейших для изучаемого процесса физических величин в начальный момент времени и 2) взаимодействием с окружающей средой на границах систем (на­ пример, распределением температур на поверхности проводящего тепло тела, равенством нулю скорости потока жидкости или газа

устенки трубопровода и т. п.). Эти условия называют начальными

играничными (краевыми).

бора нужного (единственного для данного конкретного случая) ре­ шения дифференциального уравнения теплопроводности [10] из мно­ жества возможных необходимо дополнить основное уравнение до­

* Полем физической величины называют совокупность мгновенных значе­

ний физической величины во всех точках объема или пространства, в котором происходит процесс.

24

полнительными условиями. Удовлетворять этим дополнительным условиям будет решение в виде зависимости t = f(x, у, z, т), где t — температура; х, у, z — координаты, т — время. Графически эту зависимость можно представить интегральной поверхностью (в четырехмерном пространстве). В этом случае краевые условия в общем виде можно представить, задав функцию К на пересечении с плоскостями координат х, у, z (граничные условия) и с времен­ ной плоскостью то (начальные условия). Краевые условия будут отражать состояние системы в какой-то произвольный момент вре­ мени, выбранный за начальный (т — 0). При этом следует отме­ тить, что для краевых условий не обязательно должна соблю­ даться непрерывность функции t = f(x, у, z, т) или некоторых ее производных.

Начальные условия К — f{x, у, z, 0) часто могут быть упро­ щены до t(x, у, г, 0) — to — const. Такому условию соответствуют, например, разогрев материала из «холодного» состояния или его охлаждение после работы в установившемся режиме и т. д. В от­ дельных случаях точным учетом начальных условий можно пре­ небречь (например, при нагревании или остывании стержня). Это относится также к распространению теплоты теплопроводностью в телах неправильной или произвольной формы — во всех таких случаях влияние начальных условий ослабевает с течением вре­

дача) имеют место, когда зависимость изменения температуры t =

— f{x, у, z, т) задана в виде функции t(x)\F = f'(x) в интервале времени то ^ т ^ Ѳ (где Ѳ— промежуток времени, в течение ко­ торого происходит исследование процесса) и необходимо найти ре­ шение, удовлетворяющее внутри области основному уравнению и принимающее на границе заданное значение f'(т). Граничные усло­ вия первого рода могут быть заданы сравнительно редко, так как температура среды К очень редко бывает близка к температуре поверхности стенки Кт (К ~ Кт только в случае интенсивных про­ цессов теплообмена на поверхности — кипении, конденсации, вы­ нужденном движении расплавленных металлов). Коэффициент теп­

26

Такие случаи имеют место при нагревании системы (или тела) посредством внешнего источника, когда температуры и свойства поверхности этого источника и нагреваемой системы могут изме­ няться во времени. При этом температура источника теплоты (и тепловой поток) может изменяться в зависимости от изменения температуры нагреваемой системы из-за взаимного излучения. Частным случаем граничных условий второго рода будет отсут­ ствие потока на поверхности (тепловая изоляция).

3. Граничные условия третьего рода (третья краевая задача соответствуют заданному линейному соотношению между произ­ водной dt/dn и зависимостью температуры стенки от температуры среды:

ность теплового взаимодействия среды и стенки.

Граничные условия третьего рода имеют широкое практическое применение для решения задач конвективного теплообмена на гра­ нице.

4. Граничные условия четвертого рода задают в случае неодно­ родности среды (многослойная система). Внутри каждого слоя

практике точное задание граничных условий при теплообмене с непосредственным соприкосновением невозможно вследствие боль­ шой сложности теплообмена (идут совместно конвекция, лучеис­ пускание и теплопроводность).

5. Кроме рассмотренных граничных условий, представляющих собой линейные задачи, часто имеют место так называемые нели­ нейные граничные условия (например, теплообмен при излучении):

А=™{т*~т1)

где Т — абсолютная температура; е — степень черноты; а — кон­ станта излучения.

В некоторых случаях задают смешанные граничные условия или рассматривают предельные случаи, соответствующие выро­ ждению граничных условий.

Граничные условия могут быть выражены в критериальной форме.

Система дифференциальных уравнений, дополненная началь­ ными и граничными условиями *, решается аналитически, однако

* Начальные и граничные условия для системы, имеющей определенные размеры и геометрическую форму, называют обычно условиями однозначности или краевыми,

26

это не всегда удается, а в некоторых случаях оказывается невоз­ можным вследствие крайней сложности исследуемого процесса. В таких случаях для нахождения зависимостей, характеризующих взаимосвязь переменных физических величин, влияющих на ход про­ цесса, проводят экспериментальное исследование. Полученные за­ висимости называются эмпирическими и являются частными, т. е. справедливыми только для тех условий, в которых они получены. Для обобщения результатов экспериментальных исследований и для расширения пределов их применения в более широкой группе подобных процессов используют методы теории подобия. Подобие начальных условий означает, что в момент, когда начинается ис­ следование процесса, соблюдается подобие полей всех физических переменных величин, характеризующих процесс.

Подобие граничных условий определяется тем, что все значения величин, характеризующих эти условия, для сходственных точек в сходственные моменты времени находятся в постоянных соотно­ шениях.

Подобие начальных и граничных условий соблюдается только при их геометрическом, физическом и временном подобии.

Теоремы подобия

Практическое применение теории подобия к эксперименталь­ ному и теоретическому исследованию процессов основано на трех теоремах подобия.

П е р в а я т е о р е м а п о д о б и я носит название теоремы Нью­ тона — Бертрана. Она гласит: подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия. Вторая формулировка этой теоремы: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Для того чтобы пояснить вторую формулировку теоремы Нью­ тона— Бертрана, рассмотрим общий случай гидромеханического подобия для двух систем, представляющих собой движущиеся тела. Движение этих тел подчиняется второму закону Ньютона,

По условию подобия физические величины одной системы можно выразить через величины другой (для сходственных точек) с помощью констант подобия:

х/_

w ' -- С.ц;, X Сх

27