Файл: Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии.pdf

выразить с помощью трех * основных переменных М, L н Ѳ (масса, длина, время) следующим образом:

Показатели степеней у размерностей переменных, входящих в зависимости (2-28) и (2-29), объединяются в матрицу размерно­ стей:

При условии независимости уравнений размерностей одного от другого строки матрицы тоже независимы и ранг матрицы R(M) соответствует числу строк, т. е. при трех основных величинах (масса, длина, время) равен трем. Число переменных п = 6. Сле­ довательно, число безразмерных комплексов, описывающих про­ цесс, должно быть равно 6 — 3 = 3.

По элементам матрицы (2-31) можно рассчитать показатели степени а, b, с, е, f и k, составив линейную однородную систему уравнений:

Так как число безразмерных комплексов, описывающих про­ цесс в соответствии с л-теоремой должно быть равно трем, то для нахождения вида каждого из них можно свободно выбрать значе­ ния трех показателей степени (так как всех неизвестных — шесть). Эти значения выбираются по целесообразности.

1. Например, для выявления первого безразмерного комплекса (или определяемого критерия) следует принять а — 1, так как Артр

* Так как рассматриваем изотермический поток, то четвертую основную переменную — температуру во внимание не принимаем.

В результате получим м атрицу решения:

Выражения полученных безразмерных комплексов соответ­ ствуют: первый — критерию Эйлера, второй — критерию Рейнольд­ са (точнее, 1/Re), а третий представляет собой геометрический симплекс.

В соответствии с я-теоремой можно было заранее предсказать число симплексов, входящих в зависимость (2-25). Действительно, общее число критериев, которое должно быть равно разности между числом п переменных величин х и числом т основных еди­ ниц измерения [см. зависимость (2-28)], составит 6 — 3 = 3. Число критериев-комплексов будет равно разности между числом к пере­

Таким образом, зависимость (2-28) в критериальной форме бу­

Из теории групп следует, что зависимость между найденными критериями можно представить следующим образом:

Численные значения константы С и показателей степени р и q невозможно найти с помощью методов теории подобия — их опре­ деляют экспериментально. Действительно, для ламинарного и установившегося режима течения жидкости по прямым трубам установлено, что

Выражение (2-37) представляет собой известное уравнение Гагена — Пуазейля4

34

Следует иметь в виду известную ограниченность метода ана­ лиза размерностей. Теория размерностей не предусматривает оп­ ределения условий однозначности, что в некоторых случаях мо­ жет привести к ошибкам *. Однако при правильном выборе ве­ личин, входящих в исходную функциональную зависимость типа y = f{xi,X2,Xz, . . . , Хп), можно, не имея полного математического описания процесса, получить обобщенную зависимость в форме уравнения связи между (п — т) критериями.

применим и для оценки подобия гидравлических процессов. При этом следует вместо общей, действующей на систему силы / под­ ставлять выражения силы тяжести, трения, давления, сопротивле­ ния среды и т. п.

Частные выражения, соответствующие различным критериям гидромеханического подобия, могут быть получены следующим об­ разом.

Критерий Фруда. В критерий Ньютона Ne = подставляем

вместо f выражение для силы тяжести f = mg и получаем:

Вместо комплекса gl/w2 обычно пользуются обратным выраже­ нием (чтобы не иметь дела с дробными числами), которое и из­ вестно как критерий Фруда:

при действии силы тяжести, и выражает соотношение сил тяжести и сил инерции **.

Критерий Рейнольдса. В случае движения вязкой жидкости в потоке возникает сила трения, которая по закону Ньютона равна:

*См. в [14] о так называемой ошибке Релея.

**При моделировании газовых потоков критерий Фруда не имеет существен­ ного значения, так как вследствие малой плотности газов влиянием силы тя­ жести обычно можно пренебречь.

трения возникает разность скоростей перпендикулярно к направле­ нию потока); dl — расстояние между движущимися слоями жид­

кости.

Подставим выражение для силы трения в критерий Ньютона, а также выразим массу т через объем /3 и плотность р жидкости

( т = р /3):

,2 dw

Разделим переменные:

Чтобы не пользоваться дробными числами, обычно применяют обратное выражение полученного комплекса, которое и называют критерием Рейнольдса:

wlp

И

При течении жидкости (или газа) по трубам или аппаратам обычно принимают в качестве определяющего линейного размера / диаметр d:

где d — диаметр, м; w — скорость жидкости (газа), м/с; р — плот­ ность жидкости (газа), кг/м3; р — динамический коэффициент вяз­ кости, Па-с или Н-с/м2; ѵ = р/р— кинематический коэффициент вязкости, м2/с.

Критерий Рейнольдса определяет соотношение между силами инерции и силами трения в движущейся жидкости (газе). Его ве­ личина характеризует это соотношение в подобных потоках.

Критерий Эйлера. При описании движения потока под дей­ ствием разности давлений между двумя некоторыми точками силу f в критерии Ньютона можно заменить силой гидростатического давления Ар, действующей на площади I2. Массу т при этом сле­ дует выразить через произведение объема I3 на плотность жид­ кости (газа):

36