Файл: Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии.pdf

(По правилу взаимозаменяемости одноименных величин отношения приращений величин, входящих в константы подобия, могут быть заменены отношениями самих величин: Cw= CAw и С ,= САх).

Выразим переменные системы I через переменные системы II и подставим в уравнение (2-18):

Затем перенесем все константы подобия в левую часть уравнения

При сравнении исходного и преобразованного уравнений (2-19) и

сит название индикатора подобия. Индикатор подобия показывает, что выбор констант подобия ограничен определенным условием:

T. e. при условии подобия двух систем можно менять произвольно только три величины, а значение четвертой будет определяться уравнением (2-22).

Комплекс разнородных величин представляет собой инва­

риант подобия и для двух изучаемых систем (модели и прототипа) должен иметь одинаковое численное значение.

Безразмерные комплексы — инварианты получили в теории по­ добия название критериев подобия, и по предложению Грёбера [11] их рекомендуется обозначать начальными буквами фамилий выдающихся ученых, внесших существенный вклад в развитие дан­ ной области науки.

Комплекс —— носит название критерия Ньютона и обозна­

чается *

* В американской научно-технической литературе критерии подобия часто называются числами подобия и обозначаются так: ЛТде (Number of Reynolds).

28

или, в другой форме, при замене времени т отношением длины пути / к скорости w

Таким образом, в случае механического подобия двух систем

произведение силы на длину, деленное на массу и квадрат скоро­ сти для любой пары сходственных точек прототипа и модели, имеет одно и то же численное значение. Такая формулировка также соот­ ветствует первой теореме подобия. Из нее также следует, какие конкретные физические величины нужно измерять при эксперимен­ тальном исследовании данного процесса.

мулируется следующим образом: любая зависимость между физи­ ческими величинами, характеризующими явление или процесс, может быть представлена в виде взаимной зависимости между критериями подобия, т. е. в виде так называемого обобщенного критериального уравнения типа

прос, как следует обрабатывать полученные экспериментальные данные или в какой форме может быть получено решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс, с помощью методов теории подобия.

Следует отметить, что критерии подобия, входящие в зависи­ мость типа (2-25), не равноценны. Критерии подобия, составленные из физических величин, входящих в начальные и граничные усло­ вия,— точнее, в условия однозначности — называются определяю­ щими. Критерии, составленные из физических величин, не являю­ щихся необходимыми для однозначной характеристики данного процесса и в свою очередь зависящие от этих условий, называются определяемыми.

Так, например, при движении жидкости или газа по трубопро­ водам заданные начальные и граничные условия (геометрические характеристики трубы — длина и диаметр, физические свойства

в любой точке потока в трубе и перепад давления между любыми двумя точками. В этом случае определяемым будет критерий по­ добия, в котором имеется величина Ар, не входящая в условия однозначности, а зависящая от них.

Функциональную зависимость типа (2-25) поэтому удобнее представлять в таком виде, чтобы после нахождения значений оп­ ределяющих критериев можно было бы легко найти значение опре­ деляемого критерия и затем из него — численное значение искомой

* Вторая теорема подобия была доказана также Т. А. Афанасьевой-Эрен-

фест [Phys. Mag., v. I (1925)].

29

физической величины. Таким образом, если определяемый крите­ рий обозначить через пи то

Например, известное уравнение Гагена — Пуазейля * для опре­ деления потери давления на трение ДрТр при ламинарном движе­ нии потока жидкости или газа в трубе

ратна первой: подобны те явления или системы, которые описы­ ваются одинаковыми уравнениями связи и условия однозначности которых подобны.

Подобие условий однозначности обеспечивается равенством определяющих критериев подобия в случае, если явления или процессы качественно одинаковы (аналогичны). Качественно оди­ наковыми будут процессы, математическое описание которых оди­ наково.

Таким образом, третья теорема подобия формулирует необхо­ димые и достаточные условия для подобия явлений или про­ цессов. Методами теории подобия можно перенести результаты опытов, полученные на модели, на группу или класс подобных си­ стем. Для этого сначала составляют математическое описание про­ цесса в виде системы дифференциальных уравнений и условий одно­ значности, затем проводят подобное преобразование этой системы и получают критерии подобия, после чего на моделях устанавливают

* См. стр. 62.

30

конкретный (явный) вид зависимости между критериями подобия. Полученное обобщенное уравнение (и его расчетная форма) спра­ ведливо для всех подобных процессов в исследуемых пределах из­ менения определяющих критериев подобия.

В некоторых случаях из-за сложности явления или процесса не удается составить его полное математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений, а возможно лишь в самом общем виде представить зависимость между физическими величи­ нами и геометрическими параметрами, характеризующими процесс. Вид такой зависимости можно найти на основе анализа размерно­ стей физических величин, вошедших в уравнение. Этот метод, вве­ денный в инженерную практику Бриджменом [12], базируется на так называемой я-теореме, являющейся частным случаем второй теоремы подобия.

я - Т е о р е м а (выведена Бакингемом) формулируется следую­ щим образом: всякое уравнение, связывающее между собой п фи­ зических величин (например, скорости, вязкости, плотности и т.п.), среди которых m величин обладают независимыми размерностями [например, масса, длина, время), может быть преобразовано к

я-Теорема имеет большое значение при проведении эксперимен­ тального исследования, позволяя находить связь не между отдель­ ными физическими переменными, а между некоторыми их безраз­ мерными соотношениями (я), составленными по определенным законам. При этом число переменных уменьшается на число ис­ пользованных основных единиц измерения (1, 2, 3 и более), что су­ щественно упрощает условия проведения эксперимента.

Метод анализа размерностей

Метод анализа размерностей позволяет выразить общую функ­ циональную зависимость для любого исследуемого процесса в виде уравнения связи между строго определенным числом безразмер­ ных комплексов, состоящих из физических величин с определенной размерностью, выраженной с помощью основных единиц измере­ ния. Этот метод базируется на двух допущениях:

1)известно заранее (из практических данных), от каких именно параметров процесса и переменных зависит рассматривае­ мая физическая величина;

2)связь между всеми существенными для исследуемого про­ цесса физическими величинами выражается в виде степенного многочлена.

Впростейшем случае в уравнение связи подставляются раз­ мерности входящих в него физических величин и достигается

31

размерная однородность. Соблюдение размерной однородности обеспечивает независимость уравнения от единиц измерения пере­ менных, т. е. его инвариантность.

Для иллюстрации метода рассмотрим случай ламинарного те­ чения изотермического потока жидкости в прямой трубе*.

Допустим, что, не зная закона, которому подчиняется движение жидкости в трубах, на основании практических данных можно предполагать зависимость перепада давлений в потоке в начале и конце трубы от вязкости жидкости ц, ее плотности р, скорости w и размеров трубы d (диаметра) и I (длины).

Требуется установить математическую зависимость между по­ терей напора на трение Артр и остальными физическими величи­ нами, характеризующими гидродинамическую обстановку в дан­ ном потоке.

Предположим, что неявная зависимость между переменными

Из обозначенных через ср функциональных зависимостей пред­ ставляет интерес только степенная зависимость, так как в этом случае выбранные физические величины (переменные) образуют чистую абелеву группу [13]. Следовательно, каждая переменная может быть представлена в форме произведения степеней основ­ ных переменных как базовых элементов:

Так как функция уравнения (2-28) размерно однородна и зна­ чение АрТр не безразмерно, то алгебраически доказывается [13], что устойчиво существует произведение степеней переменной х с размерностью у. Если уравнение (2-28) или обе части уравнения (2-29) разделить на это произведение степеней, то зависимая пере­ менная ДрТр преобразуется в безразмерную зависимую перемен­ ную или безразмерный комплекс я:

Таким образом, размерно однородная система, состоящая из размерных величин, может быть заменена безразмерной системой. Размерность всех входящих в зависимость (2-30) величин можно

* См. стр. 58—67,

82