Файл: Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости.pdf

12 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения

ся постоянным, мгновенно претерпевает деформации, ко­ торые потом остаются неизменными. При внезапном приложении однородного касательного напряжения к ньютоновской вязкой жидкости возникает стационарное течение.

Существуют, однако, материалы, у которых внезапно приложенное и поддерживаемое неизменным напряжен­ ное состояние вызывает мгновенную деформацию, вслед за чем следует процесс течения, которое с возрастанием времени может быть ограниченным или неограниченным. О материале, который ведет себя подобным образом, говорят, что он проявляет одновременно свойства упру­ гости и ползучести. Такое поведение, очевидно, не опи­ сывается ни упругой, ни вязкой моделями, а сочетает в себе черты обеих.

Полезно рассмотреть случай, который представляет собой обобщение поведения материала при однократном внезапном изменении приложенных поверхностных сил. Допустим, что материал, обладающий описанными выше свойствами мгновенной упругости и ползучести, подвер­ гается двум неодновременно происходящим изменениям однородного напряженного состояния, которые наклады­ ваются одно на другое. После первого приложения на­ пряжения, но перед тем, как наступило второе, поведе­ ние материала будет зависеть от времени, а также o r величины приложенного вначале напряжения. Рассмот­ рим теперь ситуацию, которая возникнет через сколь угодно малый интервал времени после внезапного при­ ложения второго напряженного состояния. Поведение материала будет зависеть не только от второго измене­ ния внешних усилий, но и от продолжающегося завися­ щего от времени влияния первого приложенного уров­ ня напряжений.

Заметим, что поведение упругого материала в любой момент времени зависит только от суммарного уровня напряжений. Таким образом, рассматриваемый матери­ ал более общего типа обладает свойством, которое мо­ жно назвать эффектом памяти. При этом поведение ма­ териала определяется не только текущим напряженным состоянием, но и всеми прошлыми напряженными со­ стояниями, так что, вообще говоря, материал «запоми­

возникает, если обратиться к деформациям; в этом слу­ чае текущее напряжение зависит от всей истории дефор­ маций.

В следующем разделе будет приведено простое, но фундаментальное математическое описание именно это­ го последнего факта способности материалов к запоми­ нанию. Далее для построения линейного вязкоупругого соотношения между напряжениями и деформациями при изотермических условиях будет использована теорема представления. При этом использование термина «па­ мять» станет более строгим; однако следует отметить, что существует много других теорий механического по­ ведения материалов с памятью, которые коренным об­ разом отличаются от излагаемой здесь. Например, ин­ крементальная теория пластичности включает эффекты памяти, но лишь в том смысле, что конечное деформи­ рованное состояние зависит не только от конечного на­ пряженного состояния, но и от пути в пространстве на­ пряжений, который привел к этому конечному состоя­ нию.

Подчеркнем, что разница между этими двумя теори­ ями состоит в том, что в теории пластичности не учиты­ вается масштаб времени, используемый в программах нагружения и разгрузки, тогда как в теории вязкоупру­ гости имеется характерная зависимость от времени или от скорости деформации.

Все выводы и приложения в этой и в следующих гла­ вах предполагают однородность материала. Во многих случаях легко получить обобщения для некоторых неод­ нородных материалов, в то время как в других случаях получить такое обобщение трудно или невозможно. Та­ ким образом, вопрос об обобщении методов, развитых для однородных материалов, на неоднородные требует индивидуального подхода.

Наконец, следует отметить тот факт, что, хотя боль­ шинство достижений в теории вязкоупругости относится к последнему времени, теория, сформулированная для линейного изотермического случая, существует уже дав­ но. Это связано с вкладом таких авторов, как Максвелл, Кельвин и Фойхт; Больцман [1.2] в 1874 г. впервые дал

14 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношений.

уравнения трехмерной теории изотропной вязкоупруго­ сти. В 1909 г. Вольтерра [1.15] получил аналогичные зависимости для анизотропных тел.

§ 1.2. Интегральная форма определяющих

соотношений между напряжениями и деформациями, Свертка Стильтьеса

Переходим к выводу изотермических вязкоупругих зависимостей между напряжениями и деформациями. Установление других уравнений поля, необходимых для завершения теории, отложим до следующей главы. Пре­ жде всего кратко напомним определения напряжения и деформации. Более подробные сведения содержатся в курсах теории упругости, например в книге Сокольни­ кова [1.12]9.

Воспользуемся обычным обозначением декартова тензора, в котором латинские индексы пробегают значе­ ния 1, 2, 3, а повторяющиеся индексы обозначают сум­ мирование. Обозначим через Х{ координаты точки тела в начальном состоянии, отнесенные к декартовым осям. Для твердого тела фиксированная начальная конфигура­ ция отсчета считается недеформированной. Через Хі обо­ значим координаты той же точки в деформированном состоянии. Полная история движения среды определяет­ ся зависимостью

*< (т) — Хі (X j, т), — ОО< Т < /,

где т — переменное время, а t — текущий момент вре­ мени.

Компоненты вектора перемещений определяются формулой

Щ(т) = Хі (т) — Х[.

*> См. также, например, Лурье А. И., Теория упругости, изд-во

«Наука», 1970. — Прим, перев.

где ба — символ Кронекера. Определим е соотношением

е = sup К,/(т)|,

Т

где Ui'j— dUi/dXj, | | обозначает абсолютную величину, a sup —наименьшую верхнюю грань. Деформация назы­ вается инфинитезимальной в любой момент т, если е<СІ. Теория вязкоупругости, которую мы будем в дальнейшем развивать, будет называться инфинитези­ мальной, если е<С 1 и перемещения малы по сравне­ нию с характерными размерами тела. При таких усло­ виях инфинитезимальный тензор деформаций ец опреде­ ляется как

е//(т ) “ 1/ 2 fr) Uj ,l fr)]*

где вследствие инфинитезимальное™ перемещений несу­ щественно, по какому аргументу ведется дифференциро­ вание: по Хі или по Хі. Следовательно, в инфинитези­ мальной теории производные можно брать относительно координат Хі.

Напряжение определяется следующим образом. Пусть ба — площадь элемента поверхности, которая мо­ жет быть границей тела, а может просто лежать внутри него. Обозначим через п единичный вектор нормали к инфинитезимальному элементу поверхности ба. Вектор напряжения о определяется через результирующую си­ лу G, действующую на элемент поверхности ба,

а,- — Нт — .

6a-f0 öа

Э то т вектор напряжения определяется на стороне эле­ мента ба, соответствующей положительному направле­ нию п. Каждой ориентации элемента поверхности ба соответствует свое значение вектора напряжения а. Тен­ зор напряжений оц определяется с помощью преобразо­ вания, которое связывает компоненты вектора напряже­ ния с ориентацией элемента поверхности, т. е.

°і = °ЦПі.

Это соотношение получается из условий равновесия ма­ лого тетраэдра в проекциях на оси координат. Симмет­ рия тензора напряжений а ц — ол следует из предполо-

16 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения

жения о равновесии моментов, приложенных к малому элементу объема. В рассматриваемой инфинитезималь­ ной теории площадь ба можно относить как к фиксирован­ ной, так и к деформированной конфигурациям отсчета,

ирасхождения при этом будут пренебрежимо малы в си­ лу инфинитезимальное™ перемещений между этими дву­ мя состояниями. Для общей теории, представленной в гл. 6

ине включающей предположения о малости перемеще­ ний, это будет не так.

Вконтексте данной инфинитезимальной теории следу­ ет найти определяющее соотношение между напряжения­

ми Oij и деформациями гц . Это соотношение предпола­ гается линейным, что согласуется с уже введенными до­ пущениями о малости перемещений. Инфинитезимальная теория называется линейной, если помимо вышеупомя­ нутых линейных соотношений линейными принимаются и дополнительные уравнения полей, которые необходимы для полноты теории. Эти дополнительные соотношения будут приведены в гл. 2.

Гипотеза о том, что мгновенное значение тензора на­ пряжений зависит от всей истории изменения компонент тензора деформаций, формально выражается в виде

преобразующий каждую историю изменения деформаций Eij(t) при — о о ^ ^ ^ о о в соответствующую историю из­ менения напряжений сГгДОЭтот функционал парамет­ рически зависит от текущего значения деформаций Eki(t), которое соответствует упомянутому во введении эффекту мгновенной упругости. В общем случае все пе­ ременные поля являются функциями не только времени, но и координат точки однако, поскольку здесь рас- с-матриваются только локальные эффекты, зависимость Oij и Eij от Хі не учитывается.

Если история деформаций ец (() предполагается не­ прерывной, а функционал линейным, то, чтобы запи­ сать функционал (1.1) в виде интеграла Стильтьеса, можно использовать теорему представления Рисса

здесь функции интегрирования Gijki(t) образуют тензор четвертого порядка, такой, что G ijki(t)— 0 при — o o e t C < 0 , и каждый его элемент имеет ограниченную вариа­ цию в любом замкнутом подинтервале из области — о о < C t C . оо. Действительно, интеграл в (1.2) представляет собой свертку (интеграл) Стильтьеса. Принятая форма интеграла приводит к тому, что определяющее соотноше­ ние (1.2) не зависит ни от каких сдвигов по шкале вре­ мени. Такое поведение называется инвариантностью по

отношению к переносу по времени, и все результаты в этой книге получены в предположении, что это условие выполняется. Симметрия тензоров напряжений и дефор­ маций приводит к зависимостям

Gijhi(t) и его первая производная по времени непрерыв­

тегрирования дельта-функции Дирака, входящей в диф­ ференциалы функций интегрирования Gijhi(t) при t = 0. Иной способ перехода от (1.2) к (1.4) основан на зави­ симости между сверткой Стильтьеса и сверткой Римана. Это обстоятельство обнаружили и использовали в своем выводе Гёртин и Стернберг [1.9].

Другую форму соотношений, определяющих напря­ жения, можно получить из (1.4) заменой переменной т — t—s и интегрированием по частям, что дает

t

До сих пор величина гы (t) считалась непрерывной функ-

2— 851

аУч л.'- : г--У ,і: іИЧЕСНА - ; 1 БИБЛИОТЕКА СС £>