Файл: Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости.pdf

священа исследованию одного типа памяти — так назы­ ваемой затухающей памяти.

Первая математическая формулировка понятия зату­ хающей памяти была дана Вольтерра [1.16]. Более позднее и более полное определение гипотезы о затухаю­ щей памяти дали Колеман и Нолл в нескольких публи­ кациях, упомянутых в обзоре Колемана и Майзела [1.5]. Гипотеза о затухающей памяти с большим успехом ис­ пользовалась в нескольких работах, например, в данной Колеманом [1.4] термодинамической формулировке не­ линейной теории вязкоупругости. Формальное определе­ ние этого типа эффекта памяти более сложно, чем это требуется здесь для приложения к теории инфинитези­ мальных деформаций. Такое формальное определение будет использоваться в гл. 6 для построения нелинейной теории вязкоупругости.

Для целей, которые .ставятся в линейной теории, бу­ дет достаточно более простого определения затухающей памяти следующего вида. Если мгновенное значение не­ которой переменной поля представляется линейной функциональной зависимостью от полной предыдущей истории изменения другой переменной поля, то гипотеза о затухающей памяти утверждает, что первая переменная сильнее зависит от недавней истории изменения второй переменной, нежели от далекой истории этого изменения. Точнее говоря, зависимость мгновенного значения пер­ вой переменной от значений второй переменной в пред­ шествующее время определяется с помощью некоторой весовой функции, которая должна обеспечивать непре­ рывно убывающую зависимость от прошлых событий по мере их непрерывного удаления от рассматриваемого момента.

Использование термина «весовая функция» становит­ ся ясным в последующем обсуждении ограничений, которые следует наложить на зависимость между напря­ жениями и деформациями, чтобы удовлетворить гипоте­ зе о затухающей памяти. Из зависимости между напряже­ ниями и деформациями (1.2) или (1.4) видно, что весо­ выми функциями, которые характеризуют область, где на текущие значения каждой компоненты напряжения влияют значения деформаций в прошлом, являются тан­

24 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения

генсы угла наклона графика функции релаксации. Для того чтобы все компоненты вязкоупругих зависимостей между напряжениями и деформациями удовлетворяли условию затухающей памяти, достаточно, чтобы значе­ ния тангенсов угла наклона для каждой компоненты тен­ зорной функции релаксации были непрерывными убы­ вающими функциями времени; отсюда

\dGi m m t\ t.,u < \ d G i]kl(t)ldt\t=h при tt> t 2> 0 . (1.25)

Гипотеза о затухающей памяти оправдана в том смыс­ ле, что было бы физически нереальным ожидать усиле­ ния памяти материалов по отношению к более отдален­ ным событиям. Действительно, все экспериментальные измерения функций релаксации дают результаты, согла­ сующиеся с критерием (1.25). Легко установить и тот факт, что гипотеза о затухающей памяти удовлетворяет­ ся также, если наложить следующие условия на тензор­

Дальнейшие ограничения, касающиеся вида функций релаксации, приводятся в § 3.3.

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о различии между вязкоупругими твердыми телами и жидкостями. Хотя интуитивно и ясно, что упругая среда является твердым телом, а вязкая среда является жидкостью, для вязкоупругих материалов ситуация является значительно более сложной, поскольку они проявляют признаки как упругого, так и вязкого поведения. Не ясно, будет ли некоторый вязкоупругий материал твердым телом, жид­ костью или и тем, и другим одновременно (последняя возможность будет обоснована ниже). В обобщенном смысле провести границу между твердыми и жидкими телами не так просто, как может показаться с первого взгляда. Строгое определение этих понятий, которое дали Трусделл и Нолл [1.14], весьма сложно; оно будет рас­ смотрено в гл. 6. Следствие такого формального опреде­ ления жидкости состоит в том, что жидкость в отличие от твердого тела должна быть изотропной.

26 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения

между компонентами напряжений и деформаций в виде

«и (0 = [Gi (0/2] и,

где, как мы напоминаем,

G1(t) = 0 при t < 0.

Из определения изотропного вязкоупругого твердого те­ ла следует, что для того, чтобы некоторый изотропный вязкоупругий материал представлял собой твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы

lim Gx (t) -> const Ф 0 (изотропное твердое тело). t—*■ со

Для того чтобы вязкоупругий материал был жидкостью, необходимо, чтобы

WmGxit) 0 (жидкость).

Однако этого требования для предельного поведения функции релаксации при сдвиге недостаточно для того, чтобы материал был жидкостью. Как будет показано да­ лее, для достаточности требуется, чтобы материал удов­ летворял условию стационарности течения.

Поскольку вязкоупругая жидкость обладает тем свойством, что допускается ее течение в условиях стаци­ онарного состояния, мы можем ввести соответствующий коэффициент вязкости. Существование такого коэффи­ циента вязкости при стационарном течении достаточно для того, чтобы материал был жидкостью. Для получе­ ния этого коэффициента вязкости напомним сначала, что соответствующее определяющее соотношение для напряжений в ньютоновской вязкой жидкости имеет вид

где

da = 7я [dxt (t)/dxj (t) + dXj (f)fdxt (/)];

«

здесь X i(t) —координаты в текущий момент времени t, a X i ( t ) — компоненты скорости. Отметим различие меж­

ду конфигурацией отсчета, используемой здесь, и фикси­ рованной конфигурацией отсчета, используемой в ин­ финитезимальной теории. В данном случае конфигура­ цией отсчета является текущая конфигурация X i ( t ) , тогда как в инфинитезимальной теории конфигурация отсчета, определяемая координатами Хі, фиксирована и для любого тела обычно отождествляется с недефор­ мированной конфигурацией. В общем случае неинфини­

совершенно различны; однако можно показать, что они совпадают в частном случае течения простого сдвига. Это состояние течения определяется условиями

x1(t) = vX2th(t) + Xъ х2 (і) = Х2, x3(t) = X 3. (1.28)

Чтобы описать состояние течения простого сдвига при помощи перемещений, требуется соотношение

Щ(/) = X; (0 — Хіг

которое определяет компоненты перемещения через ко­ ординаты. Тогда состояние течения можно эквивалент­ ным образом определить с помощью зависимостей

перь можно показать, что ец и d a тождественно совпа­ дают. Таким образом, состояние течения простого сдвига можно использовать для определения эквивалентного ко­ эффициента вязкости вязкоупругой жидкости, выражен­ ного через ее функцию релаксации.

Подстановка в формулу (1.10) выражений (1.29) для перемещений дает

28 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения

о

Подстановка же выражений (1.28) для деформаций в за­ висимости (1.27) для ньютоновской вязкой жидкости приводит к равенству

Стационарное напряженное состояние достигается вяз­ коупругой жидкостью при больших значениях времени. Таким образом, приравнивая выражения (1.30) и (1.31) при больших значениях времени, получаем

Отсюда следует, что, если вязкоупругая жидкость в со­ стоянии течения простого сдвига подвергается только деформациям со стационарными скоростями, она будет вести себя в точности как ньютоновская вязкая жид­ кость с определяемым формулой (1.32) коэффициентом вязкости (мы предполагаем, что соответствующий инте­ грал существует). Действительно, использование коэффи­ циента вязкости, определяемого формулой (1.32), влечет за собой не только стационарную скорость деформации в вязкоупругой жидкости, но также исчезающе малую скорость деформации. Это необходимо для того, чтобы соотношение (1.30), которое основывается на инфините­ зимальной теории, было справедливо при больших зна­ чениях времени, как это и следует из (1.32). Вязкость, определяемая зависимостью (1.32), называется вязк о­ стью при нулевой скорости сдвига. За этим нестрогим исследованием характеристик течения вязкоупругих жидкостей в стационарных условиях последует изучение общей нелинейной вязкоупругой жидкости (см. гл. 6).

Для вязкоупругой жидкости функция ползучести при сдвиге имеет вид

=— 2і\),

где функция Ji(t) при больших значениях времени

асимптотически стремится к конечному положительному значению, а г] — вязкость при нулевой скорости сдвига, определяемая формулой (1.32). Вывод этой формулы предлагается читателю в качестве упражнения.

Для полимерных материалов, если их рассматривать в молекулярном масштабе, различие между твердыми телами и жидкостями является очень простым. В случае жидкости отдельные длинные цепи молекул совершенно не связаны и за длительные промежутки времени обла­

смежными молекулами имеются дискретные химические связи, которые называются поперечными связями и ко­ торые препятствуют неограниченному течению. Однако' в случае материала с очень слабыми поперечными свя­ зями различие между твердым телом и жидкостью мо­ жет быть почти незаметным, если рассматривать его> с точки зрения методов и приемов, используемых инфи­ нитезимальной теорией.

Теперь у нас есть средства для установления разли­ чия между вязкоупругими телами и жидкостями. В по­ следующих приложениях будут рассматриваться оба ти­ па материалов. Однако необходимо помнить, что когда применяются зависимости между напряжениями и де­ формациями типа, который рассматривается в этой гла­ ве, независимо от того, идет ли речь о твердых телах или о жидкостях, не должны нарушаться предположе­ ния об инфинитезимальности деформаций по отношению к фиксированной конфигурации отсчета. В этом смысле различие между твердыми телами и жидкостями в усло­ виях инфинитезимальных деформаций для приложений не осложняется различиями в методах решения задач; это различие более важно для установления самой воз­ можности применения данной теории к частным типам задач. Таким образом, поскольку линейная теория не может использоваться для решения общих задач тече­ ния (при неинфинитезимальных деформациях) для вяз­ коупругих жидкостей, в случае жидкостей она наиболее полезна для вывода соответствующих форм определя­ ющих соотношений, которые в широких пределах опре­ делены и интерпретированы экспериментально.