Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

поверхности 18 дм2. При каких размерах коробки сумма длин всех ребер будет наименьшей?

586. В треугольной пирамиде один из плоских углов при вершине прямой, высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Найти остальные плоские углы при вершине.

587. Доказать, что в тетраэдре биссектор двугранного угла делит проти­ волежащее ребро в отношении, равном

отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол. 588. Разделить куб на три попарно конгруэнтные четырех­

угольные пирамиды.

589.Построить сечение четырехугольной пирамиды плоско­ стью, проходящей через внутреннюю точку отрезка, соединяющего вершину пирамиды с точкой пересечения диагоналей основания, и параллельной одной из ее боковых граней.

590.Доказать, что произвольный тетраэдр можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился ромб.

591.В основании пирамиды SABCD лежит квадрат, грани SAB

иSAD перпендикулярны к основанию, площадь основания в т раз меньше площади боковой поверхности. Найти углы наклона гра­ ней SCD и SBC к плоскости основания.

592. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противолежащих граней, пересекаются в одной точке (называемой центроидом тетраэдра) и эта точка делит каждый из отрезков в отношении 3 : 1 .

593. 1) Через середину бокового ребра правильной треуголь­ ной пирамиды провести сечение, параллельное противолежащему ребру и перпендикулярное к плоскости основания.

2) Найти объем отсеченной пирамиды, если объем данной пира­

миды равен V.

594. 1) Окружность, касающаяся стороны треугольника и про­ должений двух других сторон (рис. 142), называется вневписанной окружностью по отношению к данному треугольнику. Обозначив радиус вневписанной окружности, касающейся стороны а треуголь­

р— а

2)В треугольной пирамиде все боковые грани одинаково на­

ни пирамиды составляют с плоскостью основания углы 45°. Найти объем пирамиды. Сколько решений имеет задача?

120

2) Сколько решений будет иметь аналогичная задача, если в основании пирамиды лежит: а) разносторонний треугольник, б) рав­ носторонний треугольник?

596. Основание пирамиды — прямоугольный треугольнике пло­ щадью Q и острым углом а. Боковая грань, проходящая через ка­ тет, который прилежит к данному углу, перпендикулярна к плос­

598.1) Доказать, что середины ребер правильного тетраэдра служат вершинами правильного октаэдра.

2)Найти объем этого октаэдра, если объем тетраэдра равен V.

599.Площадь полной поверхности конуса равна Q. Площадь боковой поверхности q. Найти: 1) угол при вершине осевого сече­ ния; 2) угол развертки боковой поверхности.

600.Ромб с площадью Q вращается вокруг стороны. Объем те­

ла вращения равен V. Найти углы ромба. Вычислить при Q —

=18 см\ V = 180 см3.

601.Параллелограмм со сторонами а и b и острым углом а вращается около стороны, равной а. Найти объем и площадь по­ верхности тела вращения.

602.Прямоугольник, стороны которого равны а и 6, вращается

вокруг оси, перпендикулярной к диагонали и проходящей через

ееконец. Найти объем тела вращения.

603.Основанием призмы, вписанной в цилиндр, служит тре­ угольник, два угла которого равны а и 0. Найти отношение пло­

604. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно Ъ, угол между высотой пирамиды и боковой гранью равен а. Найти площадь полной по­ верхности конуса, вписанного в данную пирамиду. Вычислить при b = 34,5 дм, а = 34°16\

605. Усеченный конус вписан в четырехугольную усеченную пирамиду, основанием которой служит равнобедренная трапеция с острым углом ср, боковые стороны оснований равны а и b (а > Ь). Боковое ребро пирамиды образует с большей из параллельных сторон основания угол а. Найти объем усеченного конуса.

121

607Q. 1) Найти множество всех точек, удаленных от данной пря­ мой на расстояние г.

2) Дана прямая MN и на ней точка Л. Найти множество всех

.точек, удаленных от (MN) на расстояние h и от точки Л на рас­ стояние р.

608.Куб, равносторонний цилиндр, равносторонний конус и шар имеют равные площади полных поверхностей. Объем какого из этих тел наибольший и какого наименьший?

609.Плоскость рассекает поверхность шара на части, отно­ шение площадей которых равно т : п. Найти отношение объемов получившихся частей шара.

610.Круговой сегмент с хордой а вращается вокруг диаметра, параллельного этой хорде. Доказать, что объем тела вращения' не зависит от радиуса дуги сегмента.

611.1) Ребро двугранного угла, равного а, проходит через

центр сферы радиуса R. Найти площадь части сферы, принадле­ жащей двугранному углу.

2) Найти площадь части поверхности земного шара, заклю­ ченной между Гринвичским и Пулковским меридианами.

612.Найти объем простого сферического сектора, у которого площадь сферической поверхности S, а конической поверхности Q.

613.В конус, у которого угол между образующей и основанием равен а, вписан шар радиуса г. Найти объем той части конуса, расположенной вне шара, которая содержит вершину.

614.Около шара описан усеченный конус, площадь боковой поверхности которого в т раз больше площади поверхности шара. Найти угол наклона образующей к плоскости основания.

615.Около шара описан прямой параллелепипед, объем кото­ рого в т раз больше объема шара. Найти двугранные углы при бо­ ковых ребрах параллелепипеда.

616.Шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с площадью 5 и углом а при вершине. Найти площадь поверхности шара.

617.Около правильной треугольной пирамиды описан шар, радиус которого R. Найти объем пирамиды, если плоский угол при

еевершине равен а. Исследовать решение.

618.1) В правильной треугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Доказать, что эта пирамида явля­ ется правильным тетраэдром.

2)* В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды.

к плоскости основания, третья грань образует с основанием дву­ гранный угол <р. Найти объем описанного шара.

620. Около шара радиуса R описана /г-угольная правильная усеченная пирамида с двугранным углом а при основании. Найти

122

площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Достаточно ли данных для вычисления ее объема?

621. Найти множество всех точек пространства, разность квад­ ратов расстояний которых до двух данных точек равна k2.

622. Найти множество всех точек пространства, сумма квадра­ тов расстояний которых до двух данных точек равна &2.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Геометрия, как и другие науки, возникла из практических потребностей людей. При изготовлении орудий труда, строитель­ стве жилищ у человека возникла необходимость определять фор­ му и размеры предметов.

Дошедшие до нас памятники материальной культуры и много­ численные письменные документы древности свидетельствуют о том, что уже около 4000 лет тому назад жители древнего Египта и Вавилона обладали значительным запасом геометрических сведений. Например, египетские пирамиды (гробницы фараонов) отличаются удивительной правильностью формы. Ясно, что руководить их строительством могли лишь люди, располагавшие геометрическими знаниями. В древнеегипетских папирусах, относящихся к 2000— 1700 гг. до н. э., содержится решение ряда геометрических задач, причем некоторые из них решены безукоризненно.

Заслуга дальнейшего накопления геометрических сведений и их систематизация принадлежат ученым древней Греции.

Известно, что уже при жизни Пифагора (564—473 гг. до н. э.) греки знали теоремы о конгруэнтности треугольников, о сумме углов треугольника, владели рядом сведений о параллельных прямых, о подобии фигур, о пространственных фигурах. Фундаментальная

и какое доказательство дано самим Пифагором.

Доказательства истинности геометрических фактов, общие ме­ тоды рассуждений в науке привлекли внимание выдающихся фи­ лософов древности: Демокрита, Платона, Аристотеля. В V и IV вв. до н. э. предприняты попытки последовательного изложения геометрического материала в виде ряда утверждений, подкреплен­ ных доказательствами.

Первые работы по систематизации геометрии до нас не дошли: все они были забыты после появления знаменитых «Начал» Евклида (около 300 г. до н. э.). Систематичность и строгость изложения сде­ лали это произведение источником геометрических знаний во мно­ гих странах мира в течение более двух тысячелетий. До последнего времени почти все учебники школьной геометрии были во многом сходны с «Началами».

Величайший математик древности Архимед (287—212 гг. до н. э.) углубил и дополнил теоретические положения Евклида.

123