Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

Среди открытий Архимеда отметим глубокую разработку вопросов, связан­ ных с измерением длины окружности и площади круга, с вычислением объемов тел, в том числе цилиндра и шара. Архи­ мед погиб как патриот, защищая родной город Сиракузы от нападения римских захватчиков. Он завещал на надгробном камне изобразить шар, вписанный в ци­ линдр. Доказательство того, что объем этого шара составляет 2/3 объема ци­

в. до н. э.) Гиппархом были составлены первые (не дошедшие до нас) тригонометрические таблицы. Ряд работ, посвященных правилам вычислений в геометрии, появляет­ ся в I и II вв. н. э. Так, в работе Герона из Александрии «Метрика» даны правила вычисления площадей и объемов, например, правило нахождения площади треугольника, у которого заданы три сто­ роны (впрочем, это правило было известно еще Архимеду). Птоле­ мей составил таблицу хорд (она заменяла применяющиеся теперь таблицы синусов) для углов от 0° до 180° через каждые 0, 5°.

После гибели рабовладельческих государств древности центр научной мысли перемещается к индийцам, арабам и народам Средней

Азии.

Расцвет математики в Индии относится к V—XII вв. Индийцы уделяли большое внимание вычислительной геометрии: вычислению площадей поверхностей и объемов тел, тригонометрическим вычис­ лениям. В тригонометрии они пользовались не хордой, а полухор­ дой; наряду с синусом они ввели величину, называемую теперь косинусом.

Доказательства отсутствовали в трудах индийских ученых: чертеж и слово «смотри!» подле него составляли, как правило, все изложение теоремы.

Завоевания арабов в VII в. привели к возникновению на тер­ ритории от Индии до Испании обширных государств, росту городов, оживлению хозяйственной и культурной жизни. В области мате­ матики арабы использовали достижения ученых Индии, Китая и труды античных авторов. К концу IX в. на арабский язык были переведены творения Евклида, Архимеда, Аполлония и их много­ численных комментаторов. На арабском языке были написаны ма­ тематические сочинения ученых, живших в IX—XI вв. на терри­ тории, занимаемой ныне среднеазиатскими республиками Совет­ ского Союза.

224

Арабские и среднеазиатские ученые особенно продвинулись в области алгебры и тригонометрии. Вопросами геометрии, в част­ ности теорией параллельных прямых, занимался великий таджик­ ский и иранский ученый Омар Хайям (XI в.), известный также как поэт, позднее (в XIII в.) учение о параллельных и геометрическую теорию пропорций разрабатывал Насирэддин Туей, живший на территории современного Азербайджана.

Хотя результаты работ арабских ученых были весьма значи­ тельными, они все же не привели к перевороту в математической науке. Причиной этого являлось, конечно, не отсутствие у арабов одаренных математиков, а то обстоятельство, что уровень произ­ водства в арабских государствах почти не отличался от уровня, дос­ тигнутого в античной Греции. Главная заслуга арабских ученых состояла в том, что они сохранили науку древних в тот период, когда в Европе царили мрак и одичание средневековья.

В XII в., в связи с крестовыми походами, в Европе возникает интерес к математической культуре арабов. С арабского языка на латинский (бывший тогда официальным языком ученых всех стран Европы) переводятся «Начала» Евклида. В эпоху раннего Возрож­ дения (XII—XV вв.) математические знания распространялись среди все более широкого круга ученых. Накануне великих геогра­ фических открытий (XV в.) особый интерес возник к астрономии и в связи с этим к тригонометрии. Тригонометрия выделяется в са­ мостоятельную науку, начиная с издания Иоганном Мюллером со­ чинения «Пять книг о треугольниках всякого рода» (1461).

Мюллер ввел тригонометрические функции, которые мы назы­ ваем тангенсом и котангенсом, применил алгебру к решению гео­ метрических задач.

Бурное развитие техники, начавшееся в странах Западной Ев­ ропы в XVI—XVII вв., привело к не менее замечательным резуль­ татам в области математики.

Ране Декарт, французский философ и математик первой поло­ вины XVII в., в своей «Геометрии» впервые ввел в математику пере­ менные величины. Декарт рассматривал линии на плоскости как графики функций, выражающих зависимость одной переменной величины от другой. Тем самым он заложил основы аналитической геометрии плоскости.

Вскоре переменные величины окончательно укоренились в ма­ тематике благодаря работам Исаака Ньютона (1643—1727, Англия) и Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716, Германия), завер­ шивших создание основ дифференциального и интегрального ис­ числения. Математические открытия Декарта, Ньютона и Лейбница были подлинной революцией в математике. С помощью новых раз­ делов математики было легко найдено решение многих геометри­ ческих задач: о проведении касательной к произвольной кривой, о вычислении площадей различных фигур, объемов многих тел и др.

С XVII в. трудами французских ученых Дезарга и Паскаля положено начало новому направлению в геометрии, получившему

125

в дальнейшем наименование проективной геометрии.

Полутора столетиями позднее их соотечественник Гаспар Монж разработал метод изображения фи­ гур с помощью ортогонального проектирования на две плоскости. Работы Монжа послужили основой технического черчения и начерта­ тельной геометрии.

С XVIII в. в России начинают печататься учебники и научные тру­ ды по геометрии. Разделы, посвя­ щенные геометрии, имелись в пер­ вом русском учебнике математики— «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, вышедшем в 1703 г. Леонард Эй­ лер (1707—1783), многие годы жив­ ший и работавший в России, обна­

ружил ряд замечательных свойств поверхностей и пространствен­ ных кривых. Благодаря исследованиям Эйлера и Монжа в XVIII в. возникает метод изучения свойств геометрических фигур, осно­ ванный на применении производной,— дифференциальная геометрия.

В XIX в. в связи с задачами геометрии, механики и физики возникает векторное исчисление. Термин «вектор» предложил ан­ глийский ученый У. Р. Гамильтон, современное изложение век­ торного исчисления принадлежит физику Дж. В. Гиббсу (1839—1903, США). Немалый вклад в разработку теории и приложений векторов внесли русские математики М. В. Остроградский и А. П. Котель­ ников.

К середине XIX в. русские ученые не только поднялись до уровня, достигнутого передовыми математиками Западной Европы, но и сделали ряд открытий первостепенной важности. Особое место здесь принадлежит великому русскому ученому Н. И. Лобачев­ скому (1792—1856), создавшему неевклидову геометрию.

Чтобы лучше уяснить значение научного подвига Н. И. Лоба­ чевского, рассмотрим некоторые особенности «Начал» Евклида.

Евклид начинает с определений геометрических понятий: точ­ ки, линии, прямой, поверхности, плоскости, тела, угла и т. п. Так, первое определение гласит: точка есть то, что не имеет частей. Определение прямой таково: прямая — это линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек. Приведенные оп­ ределения можно рассматривать лишь как наглядные описания понятий точки и прямой, причем эти описания не вполне удачны. Например, «определению» прямой, по-видимому, удовлетворяет и окружность и сфера. Разумеется, опираться на такие определе­ ния при построении математической теории нельзя — Евклид и не пытается этого делать.

126

Во все времена особое внимание математиков привлекал пятый постулат Евклида: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с этой стороны (рис. 143).

Если остальные постулаты и аксиомы казались вполне очевид­ ными, то очевидность пятого постулата вызывала сомнения. От­ личался он от других постулатов и сложностью формулировки. Поэтому были предприняты многочисленные попытки доказать этот постулат, основываясь на первых четырех постулатах и пяти аксиомах «Начал». На протяжении двух тысячелетий многие круп­ нейшие математики пытались это сделать, но безуспешно. Удава­ лось лишь заменить пятый постулат эквивалентными предложе­ ниями, которые нередко формулировались проще и обладали большей наглядностью, но, тем не менее, оставались недоказанными.

Безрезультатность попыток доказательства пятого постулата привела нескольких выдающихся ученых к предположению о воз­ можности существования геометрической системы, в которой вместо пятого постулата Евклида взято противоречащее ему предложе­ ние. При этом вначале вопрос ставился чисто логически: наглядное истолкование и практические применения новой системы были отодвинуты на второй план.

Впервые такую геометрию во всей ее полноте создал Николай Иванович Лобачевский. В 1826 г. он делает устное сообщение о своем открытии, а в дальнейшем публикует ряд трудов по неевкли­ довой геометрии2.

Н. И. Лобачевский заменяет пятый постулат следующей

результаты в 1832 г. Раусе не имел мужества публично выступить g изложе­ нием своих работ по неевклидовой геометрии. Он опасался непонимания со стороны современных ему ученых.

127

(рис. 144). Все остальные постулаты и аксиомы Евклида Н. И. Лобачевский при­ нимает за истинные. Если бы пятый посту­ лат вытекал из этих предложений, то, приняв противоречащее ему предложение, Н. И. Лобачевский должен был получить противоречие при дальнейших рассужде­ ниях. Но никакого противоречия с ос­

тальными девятью аксиомами не получалось в многочисленных те­ оремах и формулах, доказанных Лобачевским на основе его акси­ омы. Более того, предложения, доказанные Н. И. Лобачевским, составили стройную систему, не уступавшую геометрии Евклида по логичности и полноте.

Аксиома Н. И. Лобачевского, теоремы, основанные на ней, поразили своей необычностью современников великого ученого, привыкших к геометрии Евклида. Так, например, в геометрии Ло­ бачевского сумма углов треугольника оказалась меньше 180° и уменьшалась с увеличением его площади; в новой геометрии не су­ ществовало прямоугольников и подобных фигур.

Ученые того времени не сумели оценить глубины и важности

рения не могли дать оснований для какого-нибудь определенного вы­ вода. Например, можно рассчитать, что сумма углов равнобедрен­ ного прямоугольного треугольника с катетом, равным диаметру земной орбиты, согласно формулам Лобачевского, должна быть меньше 180° примерно на 0,000003 угловой секунды. А такой «де­ фект» пока неуловим даже для наиболее совершенной измеритель­ ной аппаратуры нашего времени.

128