Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

78. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна Q. Найти площади ее диагональных сечений.

79°. Если диагональные сечения призмы пересекаются, то линия их пересечения параллельна боковым ребрам. Доказать.

80. Начертить основание правильной призмы, если известно, что она: 1) имеет параллельные диагональные сечения; 2) не имеет параллельных диагональных сечений, но имеет диагональные се­ чения, у которых нет общих точек.

81Q. 1) Может ли диагональное сечение наклонной призмы быть прямоугольником?

2) Два пересекающихся диагональных сечения призмы — пря­ моугольники. Доказать, что призма прямая.

82Q. В правильной призме все диагональные сечения конгру­

лежащие ребрам А В и Вfie, 2) через точки М 6 А В В ^ и N 6 BCCtB4

иPtziAiCii.

85.1) Построить сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через середину ребра верхнего основания

86.1) Построить сечение правильной треугольной призмы плос­ костью, проходящей через середину стороны основания призмы перпендикулярно к ее основанию и боковой грани.

2)Найти площадь сечения, если высота призмы равна h и сто­ рона основания а.

87.Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, высота призмы h. Найти площадь сечения, проведенного через середины двух смежных сторон основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований.

88. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое реб­ ро. Найти площадь сечения, если секущая плоскость образует с

плоскостью основания угол <р, а сторона основания равна а. Вы­ числить при а = 18 дму ф = 24°.

89. У прямой треугольной призмы ABCA^^Ci все ребра равны. Найти углы: 1) между (ВС4) и (ЛС); 2) между (ВС4) и (Л4С).

§ 11. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ

Сумма площадей всех граней многогранника называется пло­ щадью его поверхности. Площадь поверхности многогранника рав­ на площади его развертки (§ 7).

23

Те о р е ма . Площадь боковой поверх­ ности призмы равна произведению пери­ метра перпендикулярного сечения на бо­

С л е д с т в и е . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

S6 = Р-Н, где Р — периметр основания, Н — высота призмы. Для вычисления площади полной поверхности призмы доста­ точно к площади боковой поверхности прибавить удвоенную площадь

основания: 5 П= S6+ 2S0.

За д а ч и

90.Высота правильной призмы равна h, сторона основания а. Найти площадь ее полной поверхности, если-число сторон основа­ ния равно: 1) 4; 2) 3; 3) 6.

91. На рисунке 28 изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки его забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?

92. Найти площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 58 см, 50 см и 12 см,

абоковое ребро равно большей высоте основания.

93.У правильной шестиугольной призмы площадь боковой по­ верхности равна 648 см2, диагональ боковой грани 15 см. Найти сторону основания и высоту призмы.

94.В наклонной треугольной призме двугранный угол при од­ ном из боковых ребер равен 120°, расстояния от этого ребра до

других боковых ребер призмы равны 16 см и 14 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ре­ бро равно 20 см.

95. Расстояния между бо­ ковыми ребрами треугольной призмы пропорциональны чис­ лам: 26, 25, 3, площадь пер­

24

пендикулярного сечения равна 144 ж2. Дополнить условие, указав длину одйого из отрезков, и вычислить площадь боковой поверхности призмы.

96. Составить и решить задачу на вычисление площади боковой поверхности наклонной четырехугольной призмы.

97. Все ребра наклонной треугольной призмы равны а, одно из боковых ребер составляет со смежными сторонами основания углы в 60°. Найти площадь полной поверхности.

98. Практическая работа.

Произвести необходимые измерения и вычислить площадь пол­ ной поверхности макетов: 1) прямой призмы; 2) наклонной призмы.

§12. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

1.О п р е д е л е н и е . Параллелепипедом называется призма,

основанием которой служит параллелограмм.

Из определения следует, что все шесть граней параллелепипеда— параллелограммы (рис. 29).

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным

ABCDAiBiCiDi (рис. 30), в качестве начала векторов возьмем

= — (ЛВ + ЛЯ + Z 4 j ).

2

С

25

А

D С

плоскости его основания (рис. 31), то параллелепипед называется прямым.

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой паралле­ лепипед, основанием которого служит прямоугольник (рис. 32). Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного па­ раллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед с равными изме­ рениями называется кубом. Все грани куба — конгруэнтные квад­ раты.

3 а д.а ч и

99°. Будут ли в параллелепипеде конгруэнтны: 1) двугранные углы при параллельных ребрах; 2) трехгранные углы, вершинами которых служат концы одной диагонали?

100°. Имеет ли произвольный параллелепипед: 1) ось симметрии; 2) плоскость симметрии?

26

101. Из «вершины параллелепипеда проведены три диагонали боковых граней. На этих отрезках как на ребрах построен паралле­ лепипед. Доказать, что противолежащая вершина данного паралле­ лепипеда служит точкой пересечения диагоналей построенного.

102°. 1) Может ли: а) основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником; б) боковая грань прямого параллелепипеда быть ромбом?

2) Могут ли в наклонном параллелепипеде две грани быть пер­ пендикулярны к плоскости основания?

103°. Пользуясь макетами, выяснить, сколько осей и плоскос­ тей симметрии имеет: 1) прямой параллелепипед; 2) прямоугольный параллелепипед; 3) куб.

104.Пересечением каких полупространств является параллеле­ пипед ABCDAiBfitPd

105.Найти диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: 1) 2 дм, 3 дм, 6 дм\ 2) 3 см, 6 см, 12 см.

106.По данным предыдущей задачи найти площади полных поверхностей прямоугольных параллелепипедов.

107.Площадь полной поверхности куба равна 54 см2. Найти его диагональ.

108.Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 X 5 X 3 м, если размер одного куска 0,5 X 7 м и на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери комнаты.

109.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна dL, диаго­ наль боковой грани d2, диагональ основания d3. Найти площадь основания. По аналогии с полученной формулой написать форму­ лу площади боковой грани, содержащей диагональ d2.

110.В параллелепипеде диагональные сечения перпендикулярны

кплоскости основания. Доказать что этот параллелепипед прямой.

Ш. 1) в прямом параллелепипеде стороны основания равны 18 и 7, угол между ними равен 135°, боковое ребро параллелепипеда

27