Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

инаименьшего чисел, но разность квадратов наибольшего

исреднего чисел будет 64а;2, а разность среднего и наимень­

шего чисел равна 7а;2; мы желаем, чтобы 64а;2 было втрое больше 7а;2, а 7а;2, взятое 3 раза, дает 21а;2. Но [ко­

21

Я полагаю наибольшее число равным 8а;2 + ^ і сРеД-

Остается одно условие, чтобы сумма среднего и наимень­ шего числа была квадратом. Но среднее и наименьшее

число [вместе] дают 9а:2 — р , что должно равняться ква­

драту. 1 jr,у iijпустьu i D nнаu v iuсторонеp u iic ид/ За;u —• JTJL6. И Ла/ ;iiUi4получаетсяj чистил p сшашінравным

597/576.

К подстановкам. Наибольшее число будет равно

3069000/331776, среднее 2633544/331776 и наименьшее 138681/331776.

КНИГА V

1. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое из них минус данное число было квадратом.

Пусть (данное) число будет 12.

Геометрическая пропорция получается, когда произве­ дение крайних имеет среднее в качестве стороны.

■Прежде всего ищу, какой (квадрат) после вычитания 12 (дает квадрат). Это не представляет трудностей [см. задачу П10], и такое число будет 421/«.

126

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

(Теперь первое число из крайних полагаю равным 421/4>і второе же а;2; тогда среднее будет (61/2):с.

Нужно, чтобы каждое пз остальных чисел минус 12

2. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое пз них после прибавления заданного числа было квадратом.

Пусть заданное число 20.

Опять отыскиваю какой-нибудь квадрат, который после прибавления 20 остается квадратом; это будет 16. Теперь одно из крайних я беру равным 16, а другое х2, тогда среднее будет Ах, и по предшествующей [задаче] остается искать

Ах + 20 = Q и хг + 20 = Q .

И их разность есть х2 — Ах. Деление: делитель х, частное X — 4. Половина разности, умноженная на себя, дает 4, которое надо приравнять меньшему 4а; + 20; это же не­ возможно, ибо 4 должно быть не менее 20.

Но А является четвертой частью 16, а 16 не будет каким угодно числом: это квадрат, который после приба­ вления 20 является квадратом; значит, мне предстоит искать, какой квадрат имеет четвертую часть большую 20 и сложенный с 20 дает квадрат. Этот квадрат будет больше 80.

Но 81 есть квадрат больший 80; следовательно, если за сторону искомого квадрата возьмем х + 9, то тогда сам квадрат будет х2 -f- 18а; + 81; он вместе с 20 должен

127

Д И О Ф А Н Т

Теперь возвращаюсь к началу и полагаю одно из крайних ЭОѴі ! а третье х2. Тогда среднее будет 9г/з я; и мне надо искать х2 + 20 = Q и {^/2)х + 20 = Q . И разность есть X2 — (9Ѵа)а:; делитель и частное будут х и х — 97гПоло­ вина разности, умноженная на самое себя, будет 361/16,

1681/23104.

3*. К данному числу подыскать такие три числа, чтобы каждое, а также произведение любых двух из них, будучи прибавлены к заданному числу, давали квадрат.

Следовательно, остается, чтобы и это, сложенное с 5, да­ вало квадрат. Пусть 4х2 + 28х + 34 равно квадрату на стороне 2х — 6 . Это будет

4х2 + 36 — 24х = 4х2 -f- 28х + 34,

и X получается 1/26.

') Этот поризм, ио-видимому, имеет отношение ко второму, также потерян­ ному, решению 10-й задачи книги III, где спрашивается, при каких ус­ ловиях удовлетворяются уравнения

128

бы каждое из них пли произведение двух любых минус данное число было квадратом.

Пусть заданное число будет 6 .

Опять таким же образом полагаю два последователь­

ся квадрату, положим на стороне 2ж — 6 . И этот квадрат

двух любых, сложенное с их суммой или с оставшимся, давало квадрат.

Мы опять имеем в «Поризмах» х):

«Для двух любых последовательных квадратных чисел находится еще одно число, равное удвоенной

ж2 + 9 — 6 ж = ж2 + Зж + 3;

иж будет равен 2/3.

Кподстановкам. 1-е число будет 25/9, 2-е 64/9 и 3-е

196/9.

6 . Найти такие три числа, чтобы каждое из них минус

двойка давало квадрат и также чтобы произведение любых