Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

двух чисел минус их сумма или остающееся число тоже давало квадрат.

Если к каждому из найденных в предшествующем чисел я прибавлю двойку, то полученные числа удовлетво­ рят заданному; и нужно сказать следующее.

Возьмем как 1-е из искомых чисел ж2 + 2, 2-е ж2 -|-

+2х -|- 3, 3-е же 4т2 -|- 4ж + 6 ; и задания выполняются. Теперь остается приравнять квадрату 4т2 + 4х 4- 4

или его четверть, т. е. х2+ х + 1. Если в качестве стороны квадрата возьмем разность х — 2 , то квадрат будет

иж равен 3/5.

Кподстановкам. 1-е будет 3/5, 2-е 5/5; если отбросить знаменатели, то 1-ѳ будет 3, а 2-е 5, и они удовлетворяют предложенному, ибо [сумма] их квадратов вместе с их произведением дает квадрат.

Если умножить 3 и 5 на какое хочешь число, то полу­ чающиеся числа тоже удовлетворят условиям.

[ В т о р а я ] л е м м а к н и ж е с л е д у ю щ е м у * . Найти три прямоугольных треугольника, имеющих одинаковые площади.

Прежде всего нужно найти такие два числа, чтобы их квадраты вместе с произведением их давали (квадрат. Это уже показано выше; искомые числа будут 3 и 5; их квадраты вместе с произведением дают квадрат), имеющий сторону 7.

130

Д И О Ф А Н Т

и X2 будет 16-й частью 36; сторона этого квадрата будет 6/4. Но 6 — произведение сторон [квадратов] 4 и 9, т. е. [ко­ личеств] 2 и 3, а знаменатель, т. е. 4, является стороной квадрата, [равного] 16.

Если тебе предложат найти три числа таких, чтобы произведения двух любых давали заданные квадраты, например 4, 9 и 16, то образуй произведение сторон [квадратов] 4 и 9 — получится 6 ; раздели это на сторону 16 (— квадрата); получится 1-е 6/4. Теперь опять 4 (— ква­ драт) раздели на 6/4; получится 16/6; затем 9 (— квадрат) раздели на 6/4; получится 6 .

Следовательно, числа будут: 1-е 6/4, 2-ѳ 16/6, 3-е 6 . 8 . Найти такие три числа, чтобы произведшіе любых двух из них, если прибавить к ним сумму всех трех или

вычесть ее, давало квадрат.

Опять отыщем сначала три треугольника, (имеющих равные) площади, и, найдя их, возьмем квадраты гипоте­ нуз; это будут 3364, 5476 и 12769. Имея их, найдем, как описано выше, три числа такие, чтобы произведения любых двух из них образовывали заданные квадраты; пусть это будут приведенные выше.

Мы получим их вследствие того, что каждый из этих квадратов, если приложить к нему или вычесть 3360, дает квадрат и 3360 есть учетверенная площадь каждого

взятые попарно их произведения образуют данные выше квадраты.

Остается сумму этих трех приравнять 3360а;2; для полу­ чения одинакового знаменателя превратим его в [484996]1).

3' ѲЫ 4996-> - И °УММа ТРеХ бУДеТ L 4849-96 J * = 336°* '

Умножив ее на [484996], получим

131299224а; = [16295865б0].г2

>) В тексте стояло неверное число 121249, что привело к необходимости ис­ править и дальнейшие выкладки. (Прим, ред.)

132

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА V

II

9*. Разложить единицу на две дроби и прибавить к каж­ дой из них заданное число так, чтобы получился квадрат.

Данное число не должно быть нечетным, <и удвоенное от него, увеличенное на единицу, не должно делиться на простое число, которое, после прибавления единицы, является кратным четырем) 2).

Предположим, что к каждой дроби добавляется 6 и получается квадрат.

Так как мы желаем разложить единицу, прибавить к каждой части 6 и образовать квадрат, то, значит, сумма квадратов должна равняться 13. Таким образом, нужно разложить 13 на два квадрата, чтобы каждый из них был больше 6 .

Если я разложу 13 на два квадрата, разность которых меньше единицы, то решу задачу. Беру половину 13; получится Q1/^; и ищу, какую квадратичную дробь нужно придать к 6 г/г для образования квадрата. Увеличим все в 4 раза. Тогда я буду искать, какую квадратичную дробь нужно приложить к 26, чтобы получился квадрат. Пусть

ж2 будет 100, а 1/ж2 будет 1/100. Таким образом, к 26 нуж­ но придать 1 /1 0 0 , а к 6 Ѵ2 — одну четырехсотую, что дает квадрат на стороне 51/20.

Таким образом, 13 надо разложить на два квадрата так, чтобы сторона каждого была возможна ближе к 51/20. И будем искать, что надо вычесть из 3 и прибавить к 2, чтобы получить именно 51/20.

') Конец задачи в рукописи отсутствует. (Лрилі. реѲ.)

‘) Текст задачи испорчен. Ограничение приведено по реконструкции П. Таи-

иери. (Прим, ред.)

133

Д И О Ф А Н Т

4843/10201, и ясно, что каждая вместе с 6 единицами образует квадрат.

10. Разложить единицу <на две дроби) и к каждой прибавить по некоторому заданному числу так, чтобы образовались квадраты.

Пусть предложено разложить единицу и прибавить к одной [части] 2 , а к другой 6 так, чтобы каждая стала квадратом.

Построим единицу AB, рассечем ее в Г, к АГ прило­

АЕ окажется равной 9, и ее нужно разделить на два квад­ рата ГА, ГЕ.

Но так как один квадрат будет больше АД, т. е. двой­ ки, и меньше AB, т. е. тройки, то я прихожу к тому, что заданный квадрат, т. е. 9, нужно разделить па два квад­ рата АГ и ГЕ так, чтобы один из них, ГД, паходился между двойкой и тройкой. Когда ГА будет найден, а АД — двойка — является данным, то, значит, оставший­ ся АГ будет найден. Но AB является единицей, и, значит, оставшийся ВГ будет найден; тогда будет найдена и точка Г, которая подразделяет единицу.

Порядок действия будет описан ниже. Пусть один из квадратов, находящийся между 2 и 3, будет ж2; следо­ вательно, остающийся будет 9 — х2, он равен квадрату:

9 — а? = Q

Приравнять это квадрату нетрудно, по должно най­ ти X2 между 2 и 3. Берем два квадрата: один больший 2,

^34