Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

Теперь возвращаюсь к первоначальной задаче; я искал

95

9х — х2 = по найденному этот квадрат =^-х2; и х по­

лучается 144/41.

К подстановкам. 1-е число будет 21, а 2-е 20 [сорок первых].

32*. Данное число разложить на такие три части, что­ бы произведение 1-го на 2-е плюс или минус 3-е было квадратом.

Пусть данное число будет 6.

Положу 3-е число х, а 2-е составлю из числа единиц, меньпіего чем 6; пусть их будет 2. Тогда 1-е число будет 4 — X. Остаются два условия относительно произведения 1-го на 2-е: если к нему прибавить или из него вычесть 3-е, то должен образоваться квадрат.

И получается двойное равенство:

8 — X = Q и 8—Зх = [ 3

И рациональным оно не будет, так как отношение чисел при X не является отношением между квадратными чис­ лами.

Но [число] при X на 1 меньше 2, а при Зх — на 1 боль­ ше 2. Мне приходится искать некоторое число, вместо 2, такое, чтобы после прибавления и вычитания 1 (полу­ ченные числа имели между собой отношение, как квадрат к> квадрату.

Пусть искомое число будет х; если к нему прибавить 1, оно будет X + 1, а если отнять, то х — 1. Мы хотим, чтобы эти количества имели между собой отношения квадратных чисел. Пусть это отношение будет 4 к 1. Тог­ да X — 1, умноженное на 4, даст 4х — 4, а х + 1, умно­ женное на 1, (даст х + 1>. И эти полученные числа имеют между собой отношение квадратных чисел. Теперь из ра­ венства 4х — 4 — X + 1 получается х равным 5/3.

114

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И І’А tV

а минус 3-е —

Умножая все на 9, получаем

65—6х — Q , 65—24а; = Q .

Числа при X уравниваю, умножая на 4 большее ра­ венство; тогда будет

260—24а; = □ и 65-24а; = Q

Теперь беру разность этих выражений, она будет 195; и полагаю два числа, произведение которых равно 195, это будут 15 и 13. Их полуразность, умноженная на себя, равна меньшему квадрату; и х получается 8/3.

Кподстановкам. 1-е число будет 5/3, 2-е 5/3, а 3-е 8/3.

Идоказательство очевидно.

33. Найти такие два числа, чтобы каждое из них, по­ лучив от другого одну и ту же часть, или части, имело за­ данное отношение к остатку от давшего числа.

Положим, что 1-е число, получая от 2-го некоторую часть или части, будет втрое больше остатка, а 2-е, полу­ чая от 1-го такую же часть или части, будет в пять раз больше остатка 1).

Положим, что 2-е равно а; + 1 , а его часть или части будут 1, а 1-е За: — 1. И 1-е, получив от 2-го такую же часть или части, т. е. 1, сделается втрое больше остатка. Мы хотим, чтобы и 2-е, получая от 1-го ту же часть или ча­ сти, было в пять раз больше остатка.

Но так как оба числа вместе будут 4а; и то, что 2-е получает, то 1-е дает, и 2-е становится в 5 раз больше остатка, то оба вместе, увеличивающиеся и остающиеся, будут 4а;, и остаток получится, когда мы от 4а; возьмем 6-ю часть, т. е. (2/3)х. Следовательно, если от За;—1 отнимем {2/3)х, то будем иметь часть или части от 1-го.

115

Д И О Ф А Н Т

на 1; обе дроби перемножаются накрест:

X2+ у X — 1 = За; — 1;

иX = 5/7.

Кподстановкам. 1-е число 8/7, а 2-е 12/7.

1 была какой-то частью 2-го числа; посмотрим, какой именно: 1, [деленная] на 2-е, будет 7/12. Оба числа умно­ жаю на семь. 1-е будет 8, 2-е 12, «части» же 7/12. Но так как 1-е число не имеет 12-й части, то утрою все их, чтобы избежать дробей; тогда 1-е число будет 24, 2-е 36, а «части» их 7/12, и доказательство очевидно.

Л е м м а к н и ж е с л е д у ю щ е м у . Найти два неопределенных числа, чтобы их произведение вместе с суммой образовало заданное число.

Пусть это число будет 8.

Положим первое х, а второе 3. И их произведение вме­ сте с суммой будет 4ж + 3; это должно равняться 8. И х будет 5/4.

К подстановкам. 1-е будет 5/4, а 2-е 3.

Теперь посмотрим, откуда получилось 5/4; из деления 5 на [количество ж-ов, т. е. 4]. Но 5 получилось из разно­ сти 8 и 3; 4ж будут на единицу больше 2-го числа.

Следовательно, если в качестве 2-го числа мы возьмем сколько-то ж-ов, отнимем их из 8, оставшееся разделим на 2-е число, увеличенное на единицу, то будем иметь 1-ѳ число.

Например, пусть 2-е будет х — 1; вычту его из 8;

останется 9 — х. Это я разделю на 2-е, увеличенное на еди- 9

ницу, т. е. на ж. И получится — — 1; это будет 1-е число.

Так получается решение задачи в неопределенных чис­ лах, когда их произведение вместе с суммой составляет 8. Это решение будет неопределенным, так как всегда, если кто-нибудь, взявши вместе х сколько угодно единиц, сде­ лает подстановку, задача будет завершена.

116

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

34. Найти три таких числа, чтобы произведения лю­ бых двух из них, сложенные с их суммами, образовали заданные числа. Заданные же числа должны быть квад­ ратами без единицы.

Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел, сложенное с их суммой, равняется 8, произведение 2-го и 3-го с их суммой равняется 15, произведение 1-го и 3-го с их сум­ мой равняется 24.

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе с их суммой равнялось 8, то если я возьму 2-е равным чемунибудь, вычту его из 8 и разделю остаток на увеличенное единицей 2-е число, то буду иметь 1-е число.

Возьму 2-е в виде х —■1; если вычту это из 8 и разделю

9

на увеличенное единицей 2-е число, то 1-е будет -----1.

Точно так же, если хочу, чтобы произведение 2-го и 3-го чисел вместе с их суммой давало 15, то, отняв <от 15) X — І и разделив остаток на 2-е число с единицей, т. е.

о 16 л

на х, получу о-е число — — 1.

Теперь остается найти произведение 1-го и 3-го, сложенное с их суммой; получится-^- — 1; приравняв это /4 ,

найдем X = 12/5.

К подстановкам. 1-е будет 33/12, 2-е 7/5 и 3-е 68/12. Приведем все к одному знаменателю; получается: 1-е 165/60, 2-е 84/60, 3-е 340/60.

Л е м м а к н и ж е с л е д у ю щ е м у . Найти такие два неопределенных числа, чтобы их произведение минус сумма равнялось заданному числу.

Пусть это число будет 8.

Положим 1-е X, 2-е 3 ; их произведение без суммы будет 2х — 3 = 8. И X получается равным 5Ѵ2.

К подстановкам. 1-е будет 5Ѵ2, 2-е 3.

Опять посмотрю, откуда получился х = 5Ѵ2; это от де­ ления 11 на 2; но 11 есть заданное число, сложенное со 2-м, а [количество х-ов, т. е. 2], будет 2-м числом, умень­ шенным на 1. Если я возьму 2-е число как угодно, то, сложив его с заданным и полученное разделив на 2-е чи­ сло без 1, найду 1-е.

Пусть 2-е X + 1; это вместе с 8 даст х -[- 9. Разделю это

д

на уменьшенное единицей 2-е, т. е. на х, получится 1 -(- —.

117

Д Й О Ф А Н І'

Найдено в неопределенных числах решение задачи: произведение двух чисел без их суммы сделать равным 8.

35. Найти такие три числа, чтобы произведения лю­ бых двух из них минус их сумма равнялись заданным числам. Заданные числа должны быть квадратами без единицы.

Пусть задано, что произведение 1-го и 2-го без их суммы равно 8, произведение 2-го и 3-го без суммы равно 15 и произведение 3-го и 1-го без суммы равно 24.

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го без их суммы равнялось 8, то, взявши 2-е число каким угодно, прибавим его к 8 и полученное разделим на 2-е, уменьшен­ ное на 1, и тогда получим 1-е на основании предшествую­ щей леммы.

Пусть 2-е число будет х -\- 1; прибавляю к нему 8; по­

лучается X -J- 9; это я делю на 2-е, уменьшенное единицей,

9

т. е. на X, и получаю 1 + — ; это будет 1-е число.

Подобно этому найдется и 3-е 1 + ^ , и два усло­ вия выполнены.

Остается найти произведение 1-го и 3-го без их суммы: оно будет 144 — 1 = 24; ; п і получится равным 12/5.

Кподстановкам. 1-е будет 57/12, 2-е 17/5 и 3-е 92/12.

Иесли хочешь, чтобы у них были одинаковые доли, то

кие два неопределенных числа чтобы их произведение имело заданное отношение к их сумме.

Примем, что их произведение втрое больше суммы. Положим 1-е х, 2-е 5. Их произведение будет 5х; мы хо­

тим, чтобы это равнялось утроенному х -)- 5. Тогда Зх -j- 15 будет равно 5х; и х получится равным 7Ѵ2.

К подстановкам. 1-е будет 7Ѵ2, 2-е 5.

Теперь смотрю, откуда х получился 7Ѵ2; из деления 15 на [количество х-ов, т. е.] 2. Но 15 — это 2-е число, умно­ женное на заданное отношение. А 2 получилось из разно­ сти, на которую 2-е число больше отношения.

Если мы положим 2-е число равным нескольким х, например х, и умнояшм его на отношение, то получим Зх;

118

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

если разделим это на разность, на которую 2-е число пре­ восходит отношение, т. е. на і — 3, то первое число по-

Зх

лучится как —+ .

36. Найти такие три числа, чтобы произведение любых двух из них имело заданное отношение к их сумме.

Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел втрое боль­ ше их суммы, произведение 2-го и 3-го вчетверо больше их суммы и произведение 1-го и 3-го в пять раз больше их суммы.

Положим, что 2-е число будет ж; тогда вследствие лем-

мы 1-е число — , а 3-е —+- .

Остается сделать, чтобы произведение 1-го и 3-го было в пять раз больше их суммы. Но произведение 1-го и 3-го

х-сы числителей множатся накрест на знаменателей, как, например, Зх на знаменателя другой дроби, т. е. х — 4, и 4ж на знаменателя первой х — 3. Так сделано сложение 7ж2 — 24ж числителей, а в знаменателе <— произведение знаменателей, т. е. х2 + 1 2 ) — 7ж.

Но мы имеем произведение 1-го и 3-го чисел

12а-2

ж2 -j- 12 — 1х

Следовательно,

12а:2 а:2 + 12 — 7а;

в 5 раз больше суммы. Но пятикратная сумма будет

35а-2 — 120а а:2 + 12 — 1х

Умножим все на общий знаменатель, ж2 + 1 2 — 7х; по­ лучается

12а2 = 35ж2 - 120х.

И X будет 120/23.

119