Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

чество X2? От тройки отнимаются три куба, каждый из которых меньше 1; [итак, задача] приводится к нахожде­ нию трех кубов, каждый из которых меньше 1, а их сумма отнятая от тройки, образует квадрат.

Будем искать каждый их этих кубов меньшим 1; если мы построим сумму этих трех меньшей 1, то каждый из кубов будет гораздо меньше единицы; таким образом, оставшийся [после их вычитаиия] квадрат будет больше 2.

Построим остающийся квадрат большим 2; пусть он будет 21/4[ = 9/4]. Тогда нужно разделить на (три) куба 3/4 или какие-нибудь его кратные, могущие быть разде­ ленными на три куба. Пусть это будет 216; тогда нам нуж­ но разделить 162 на три куба1).

Но 162 представляет сумму куба 125 и разности двух кубов 64 и 27. Из «Поризмов» мы имеем: «Разность вся­ ких двух кубов равна сумме двух кубов» 2).

Вернемся к первоначальной задаче и положим [числа соответственно равными] х3, умноженному на найденные числа, а сумму всех трех полагаем х. Тогда получится, что сумма трех кубов по вычитании каждого из них дает куб.

Было предложено, что сумма всех трех ранялась х. Но сумма этих трех будет 21/4х3; это же равно х\ отсюда

Xполучается 2/3.

Кподстановкам.

17. Найти три таких чпсла, чтобы куб суммы трех, будучи вычтен из каждого, давал куб.

Положим опять, что сумма трех будет х, а эти три числа 2X3, Эх3, 28х3. Остается сумму этих трех приравнять х.

140

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А у

И X получается 6/5. (Сторона 1-го будет 6/5,) 2-го 9/5

и3-го 1 .

Ккубу каждого из этих чисел я прибавляю 1 и воз­ вращаюсь к начальной [задаче]. Беру каждый а:3, взя­ тый число раз из найденных, полагая, что сумма трех равна X. Остается сумму трех приравнять х; но сумма

289

трех равна -gg-x3; приравняв это х, получаем х = 5/17.

Кподстановкам [1-е 341/4913, 2-е 854/4913, 3-е 250/4913.]

18.Найти три числа, равные [в сумме] (квадрату), такие, чтобы куб суммы трех, сложенный с каждым из них, давал квадрат.

Обозначим сумму трех чисел, чтобы она была квадра­ том, через X“, а искомые: 1-е Зх6, 2-е 8 х6 и 3-е 15х6. Тогда куб суммы всех трех, сложенный с каждым из них, ока­ жется квадратом.

Остается приравнять квадрату сумму трех чисел. Но эти три числа вместе суть 26х6; они равны х2. Разделив все на .г2, получим 26х4 = 1 .

Но 1 является квадратом, имеющим сторону квадрат­ ную. так что 26х4 должно быть квадратом, имеющим квад­ ратную сторону; упомянутую же количество х4 получи­ лось из некоторых трех чисел, каждое из которых вместе с 1 дает квадрат. (Итак, дело свелось к отысканию таких трех чисел, чтобы каждое из них вместе с 1 было квадра­ том) и еще чтобы сумма трех была квадратом со стороной

квадрат и, наконец, три сложенные дают квадрат, (име­ ющий стороной квадрат). Задача решена для неопреде­ ленного X.

141

Д И О Ф А Н Т

Положим, что X = 3; тогда 1-е из искомых будет 63, 2-е 15 и 3-е 3.

Возвращаемся к начальной задаче и опять положим все три вместе равными х2, а искомые 63л:0, 15а:0 и З.т°.

квадрата, каждый из которых больше 6 . Если мы каждый из них вычтем из 8 , то и получим искомые числа. Но уже было показано [Ѵп ], как нужно делить 22 на три квад­ рата, чтобы каждый из них был больше 6 .

три квадрата, что нетрудно.

') Решение этой задачи в рукописи не сохранилось. Фрагмент решении, ко­ торый следует за ней, относится к другой задаче. Баше де Ыезпрнак предположил, что между задачами 19 и 20 книги V были еще три, по­ следняя из которых формулировалась примерно так: «Найти три числа, сумма которых дана, и куб суммы минус каждое из них образует квад­ рат». Сохранившийся фрагмент является решением именно этой задачи, если данное число равно 2. Подробнее о гипотезе Баше см. в коммен­ тариях. Там же приводится реконструкция решения задачи 19, принад­ лежащая Э. Стаматнсу. (Прим, ред.)

142

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

21*. Найти три квадрата таких, чтобы тело, построен­ ное на трех, сложенное с каждым из них, давало квадрат.

Положим, это тело из трех будет х2\ поищем три квад­ рата таких, чтобы каждый из них вместе с 1 был квадратом.

Это можно получить из каждого прямоугольного тре­ угольника1); я беру три прямоугольных треугольника и, взявши квадрат одного катета, делю его на квадрат друго-

что каждый из них вместе с х2 дает квадрат. Предполагается, что тело из этих трех равняется х2;

на X2, получаем

14400 4 ,

518400Х ~

[Приравниваем] сторону к стороне, получается

120

Единица есть квадрат. Если бы ^ Х' было квадратом,

то задача была бы решена. Но этого нет.

Тогда нужно искать три таких прямоугольных треуголь­ ника, чтобы тело из трех их катетов [а^^зЬ умноженное па тело из их оснований [й^йз], давало квадрат.

Пусть его стороной будет произведение катетов одного из прямоугольных треугольников. Если мы раз­ делим все на произведение катетов упомянутого тре­ угольника, то получится произведение катетов одного треугольника, помноженное на произведение катетов другого треугольника.

И если один из треугольников мы возьмем (3, 4, 5), то придется искать два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 1 2 раз больше произведения катетов другого или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого. Но если

ники (5, 4, 3), (13, 12, 5) и (17, 15, 8). (Яріси. П. Таннери.)

143