Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф Л Н Т

шим равняется разности [чисел], умноженной на умень­ шенное на единицу количество заданных чисел [4]

Пусть даны любые числа AB, ВГ, BA, BE с одина­ ковыми разностями; нужно показать, что разность между

AB и BE равна разности между AB и ВГ, умноженной на [количество] AB, ВГ, BA, BE, уменьшенное на единицу.

Действительно, поскольку предполагается, что AB, ВГ, BA, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, АЕ будут между собой равными. Следо­ вательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, АЕ; количество же АГ, ГД, АЕ будет на еди­ ницу меньше количества AB, ВГ, ВA, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, иа единицу меньшее количества AB, ВГ, BA, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна общая разность.

III

Если дано любое количество чисел с одинаковыми раз­ ностями, то сумма наибольшего и наименьшего из них, умноженная на их количество, дает число, вдвое большее суммы всех заданных чисел [5].

Пусть даны любые числа А, В, Г, А, Е, Z с одина­

образует некоторое число, в два раза большее суммы всех А, В, Г, А, Е, Z.

Количество А, В, Г, А, Е, Z будет или четным, или нечетным.

Положим сначала его четным, и пусть количество за­ данных чисел будет равно количеству единиц в числе

170

О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х

Ипоскольку разность между Z и А такая же, как между

Ги А, то сумма Z и А равна сумме Г и А. Но сумма Z и

Аравна произведению суммы Z и А на НА; так же и сумма

Ги А равна произведению суммы Z и А на AM. На том же основании и сумма Е и В равна произведению суммы Z и А на МК; таким образом, сумма А, В, Г, А, Е, Z равна произведению вместе взятых Z и А на НК. Но про­ изведение суммы Z и А на НК вдвое меньше произведе­ ния суммы Z и А на НѲ. Таким образом, сумма всех А,

В, Г, А, Е, Z вдвое больше произведения вместе взятых Z и А на ІіѲ, т. е. на количество А, В, Г, А, Е, Z. Это и требовалось доказать.

Пусть в тех же предположениях количество А, В, Г, А, Е будет нечетным, а в ZH будет столько единиц, сколько имеется А, В, Г, А, Е. Следовательно, ZH будет нечетным, отложим на нем единицу Z0, разделим ѲН пополам в К, а ѲК разделим в точке А на заключаю­ щиеся в ием единицы. И поскольку Е превосходит Г на

у. н л к н

столько же, как и Г превосходит А, то вместе взятые Г, А будут вдвое больше Г, т. е. произведения Г на ЛК; на том же основании вместе взятые В, А вдвое больше произведения Г и ЛѲ; таким образом, А, Е, В, А бу­ дут вдвое больше произведения Г иа ѲК. Но ѲН вдвое больше ѲК; тогда А, Е, В, А равны произведению Г на ѲН; так же и Г равно произведению Г и 0Z. Таким образом, сложенные вместе А, В, Г, А, Е равны произ­ ведению Г -ZH. Но удвоенное произведение Г -ZH будет равно произведению вместе взятых А, Е на ZH. Следова­ тельно,. удвоенная сумма А, В, Г, А, Е будет равна про­ изведению вместе взятых А, Е на ZH, т. е. на количество заданных. Это и требовалось доказать.

IV

Если дано, начиная с единицы, любое количество чи­ сел с одинаковыми разностями, то сумма их всех, умно­ женная на восьмикратную разность и сложенная с квад­ ратом уменьшенной на двойку разности, образует квадрат,

171

Д И О Ф А Н Т

сторона которого без двойки будет равна разности, ум­ ноженной на некоторое число, которое после сложения с единицей будет вдвое больше количества всех взятых чисел, считая и [начальную] единицу Iе].

Пусть будет, начиная с единицы, несколько чисел AB, ДГ и EZ с одинаковыми разностями. Я утверждаю, что все сказанное будет иметь место.

Пусть НѲ содержит столько единиц, сколько взято чисел, считая и единицу; так как разность, на которую EZ превышает единицу, к разности, на которую AB больше

ницами, будем иметь, что AZ равно КВ, взятому столько раз, сколько единиц в МѲ: так что AZ равно произве­ дению КВ-М Э1).

Положим KN = 2 и посмотрим, не будет ли сумма всех [чисел], умноженная на 8 КВ (где КВ есть разность чисел) и сложенная с квадратом NB (т. е. уменьшенной на двойку разности)2), равна квадрату, сторона которого

о

6ѳ

Сумма всех [чисел] равна половине произведения вмес­ те взятых EZ и ЕЛ на ѲН; (представим произведение

172

О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х

что сумма всех равна телу КВ-НѲ-ѲЕ вместе с ІІѲ. Посмотрим, не будет ли тело КВ-НѲ-ѲЕ вместе с ѲН, помноженное на 8КВ и увеличенное на NB2, тоже квад­ ратом 2).

Но тело КВ-НѲ-ѲН, помноженное на КВ, состав­

ли сумма произведения 4НѲ-ѲМ), умноженного на КВ2, 4НМ-КВ и учетверенной суммы НѲ, ѲМ, умноженной на КВ, и и NB2 квадрата 4)?

Но 4НМ-КВ = 2NK-KB6). Увеличив это на NB2, получим [сумму] КВ2 и KN2. Теперь, не образует ли квад­

2НѲ. Такие действия в классической греческой математике считались недопустимыми. Этой точки зрения придерживался еще Ф. Виет. Дио­ фант же трактует, очевидно, и тело и сторону как числа, мы бы теперь ска­

173

Д И О Ф А Н Т

ѲМ в квадрате, умноженную на КВ2 г). Теперь, не об­

КВ равным некоторому числу Щ , то и квадрат вместе взятых НѲ и ѲМ, умноженный на КВ2, будет равен N£2, что мы докажем ниже. Следовательно, образует ли квадрат сумма N |2 и NK2 вместе с учетверенной суммой НѲ и ѲМ, умноженной на КВ ?

Но произведение 4 на (сумму) НѲ, ѲМ и на КВ равно 4N|, так как мы положили N£ равным произведе­ нию [суммы] НѲ, ѲМ на КВ, а 4N£ = 2NJ--NK, ибо NK мы положили равным 2. Итак, не образует ли квад­ рата (сумма) N£2 и NK2 вместе с 2N£-NK?

Но она действительно будет квадратом, сторона кото­ рого равна К |; если уменьшить ее на двойку NK, то оиа даст некоторое число N|, равное разности КВ, умножен­ ной на сумму НѲ, ѲМ; если к последней прибавить единицу НМ, то мы получим (удвоенное) число всех взятых членов.

Д о к а з а т ь п р о п у щ е н н о е [7].

Пусть вместе взятые НѲ и ѲМ равняются А, а КВ равно В и произведение вместе взятых НѲ, ѲМДіа КВ равно Г.

порее.)

174