Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

18. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, увеличенная на гипотенузу, образовала куб, а периметр был квадратом.

Если, как в предыдущем, положим площадь х, а ги­ потенузу — некоторому кубическому числу единиц минус

имеем основание 2 и катет = х. Теперь, если квадрат гипотенузы приравняем сумме квадратов сторон при прямом угле, то получим х рациональным:

Іх = 24121185/628864].

19. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь с катетом давала квадрат, а периметр был кубом.

Построим прямоугольный треугольник на некотором неопределенном нечетном числе; пусть оно 2 a ;- fl2). Тогда катет будет 2х -f- 1, основание 2а;2 -f 2х и гипоте­ нуза 2z2 -\-2х - f 1. Остается, чтобы его периметр равнялся кубу, а площадь вместе с одной из сторон при прямом угле давала квадрат.

Периметр получается как

4а/2 -f 6а; -f 2 = кубу.

Это число будет составным, именно произведением 4а; -f 2 и а: - f l . Тогда, если каждую сторону разделим на ж - f l , то получим периметр [подобного] треугольника 4а; -f 2; это должно быть кубом.

Остается, чтобы площадь вместе с одной из сторон при прямом угле давала квадрат. Но площадь будет

’) Если площадь ж, то сумму катетов можно положить равной 2 + х. (Прим.

п ер в о .)

') Такое образование прямоугольного треугольника па нечетном числе при-

ІСА

выражения к одному знаменателю, то сумма числителей будет 2а;3 -f- 5х2 + 4х -j- 1. И общим знаменателем явля­

И дело сводится к отысканию куба, который был бы вдвое больше квадрата; это же будут 8 и 4.

Пусть 4х + 2 = 8; х получается П о­ следовательно, прямоугольный треугольник будет

8/5, 15/5, 17/5. И все установлено.

20. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, увеличенная на один из катетов, образовы­ вала куб, а его периметр был квадратом.

Опять, если мы воспользуемся тем же методом, что в предшествующем, то все сведется к тому, чтобы сделать

его периметр был квадратом, а после прибавления его

трудно; действительно, если разделить 2 на какой-нибудь квадрат без двойки, то найдешь х. Но х нужно найти

куб получается от деления 8 на возведенное в куб выра­ жение і2 — 2. И тот же квадрат удвоенный получается от

*) Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер­

165

Д И О Ф А Н Т

следовательно, пусть 2і‘1равно кубу. Разделим все на і3; получится 2t = кубу. Если мы приравняем кубическому числу единиц, то мы получим, что t равняется половине некоторого куба. Пусть этот куб будет 8; тогда половина будет 4... 1), и ж2 равняется 1/49; и отсюда нужно отнять 1, так как один из катетов равен ж2 — 1; и дело сводится к отысканию куба такого, чтобы XU его квадрата была больше 2 и меньше 4.

И если мы положим куб равным х3, то будем искать, что­ бы Ѵ4ж6 было больше 2 и меньше 4; следовательно, ж6 больше 8 и меньше 16. Таким будет 729/64; следователь­ но, куб будет 27/8.

Теперь полагаю 21равным 27/8, и t получается равным 27/16, а і2 = 729/256. Если мы разделим 2 на это іг без двойки, то найдем х равным 512/217 и из этого квадрата можем вычесть 1 2).

22. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его периметр был кубом, а сложенный с площадью давал квадрат.

Прежде всего нужно посмотреть, каким образом для двух заданных чисел можно найти такой прямоугольный треугольник, чтобы его периметр был равен одному из данных чисел, а площадь его была равна другому.

Пусть эти два числа будут 12 и 7. Положим, что 12 будет его периметр, а 7 — площадь. Следовательно, про­ изведение сторон при прямом угле равно 14, и если один

катет мы возьмем —, то другой будет 14ж. Но пери­ метр треугольника равен 12; значит, гипотенуза будет

Остается, чтобы ее квадрат, который будет ^ + 196z2 +

+ 172— + ЗЗбж), равнялся сумме квадратов катетов,

т. e . ~ - f 196z2. X3 1

166

ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ «О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ»

умножения некоторого числа на самого себя; доказывает­ ся также, что каждый многоугольник, умноженный на число, зависящее 3) от количества его углов, и сложенный с квадратом некоторого числа, тоже зависящего от коли­ чества его углов, может быть представлен как некоторый квадрат [2]. К этому мы придем, показав, как по данной стороне находится многоугольник и как для данного мно­ гоугольника определяется сторона. Сначала докажем все, что будет для этого необходимо.

I

Если три числа имеют одинаковые разности, то восемь раз взятое произведение наибольшего и среднего, сложен-

№

О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х

ное с квадратом наименьшего, будет квадратом, сторона которого равна сумме наибольшего и двух средних [3].

Действительно, пусть три числа AB, ВГ и БД имеют одинаковые разности; нужно доказать, что 8АВ-ВГ1), (сложенное с AB2 2), образует квадрат, сторона которого равна сумме AB и 2ВГ.

8АВ-ВГ разложим на 8ВГ2 и 8АГ-ВГ.) Затем каждое из упомянутых разделим пополам, получим 4АВ-ВГ, 4ВГ2 и 4АГ>ВГ [т. е. 4ВГ-ГА, ибо АГ равно ГА; вместе же с AB2 получится AB2] 3).

Второе из произведений 4АГ-ГВ, сложенное с AB2, дает ВА2. Теперь остается узнать, каким образом AB2 вместе с 4АВ-ВГ и 4ВГ2 даст в сумме квадрат. Если мы положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ-ВГ преобразуется в 4ВА-АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ2 [или с 4АЕ2], сделается равным 4ВЕ-ЕА 4), а оно, сложенное с AB2, сделается равным квадрату на [сумме] BE и ЕА, как одной прямой 5). Но [сумма] BE и ЕА равна [сумме] AB и 2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать.

II

Если дано любое количество чисел с одинаковыми разностями, то (разность) между наибольшим и наимень-

’) Произведение двух чисел мы будем обозначать точкой, поставленной между

1С9