Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

то получится «число» ■xii^_g- • Квадрат его будет ^_|_3g6_ 12хз • Следовательно, ушестеренный квадрат вместе с утроенным

«числом» будет і <таким образом, 12а;2 -f-> 24

является квадратом, который, умноженный на меньшее из данных и сложенный с большим, образует квадрат. Таким числом является 25, так что х2 = 25; и х = 5.

Опять, если мы положим этот треугольник данного вида, как в предшествующем предложении, то дело све­ дется к нахождению прямоугольного треугольника, по­ добного 3, 4, 5. Положим его в х-ах; получится За:, 4а;,

5х и 6а? — 4а; = QJ.

Положим квадрат меньшим 6а?; тогда х появится как частное от деления 4 на избыток, который 6 имеет иад некоторым квадратом.

Если положить этот квадрат t2 х), получим, что нужно сделать

6а? — За; = | |.

Но

И если числитель вычтем из 96 с тем же знаменателем, то в остатке получим

12(2 + 24

(4 + 36 — 12(2 •

*) Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер­ вое. Во избежание путаницы мы вводим для него новую букву (. Диофант принимает, что 6** — 4* = І'хг. (Прим, ред.)

159

Д И О Ф А Н Т

Но знаменатель является квадратом, так что и 12Іг -)- 24 должно быть квадратом, и t = 1.

Теперь я полагаю 6,т2 — іх = ж2, и х получается 4/5. Значит, стороны искомого прямоугольного треугольника будут 12/5, 16/5, 4.

Если ты ие хочешь пользоваться зпачеиием 1, то по­ ложим меньшее т 4- 1 х).

Тогда 3і2 + 6 равносильно Зт2 -|- 6т + 9, которое нетрудно приравнять квадрату. Значение т получится не больше 13/9, значит, t будет не больше 22/9, и его квадрат, вычтенный из 6, сделает х рациональным.

14*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь без гипотенузы или одной из сторон при пря­

том и 15і2 — 36.

Но это равенство невозможно вследствие того, что 15 ие разделяется на два квадрата. Однако первоначальная задача вообще не будет невозможной; таким образом, нужно воспользоваться треугольником другого вида, т. е. необходим диоризм. Действительно, 15і2 получилось из некоторого квадрата, меньшего площади, умноженного на произведение гипотенузы и одного из катетов, а вычита­

*) Здесь Диофант вводит новое, третье по счету, неизвестное, которое обо­ значает той же буквой, что и первые два. (Прим, рев.)

*) Диофант вновь полагает, что сторона квадрата равна І'х*. (Яріш. peD.

1 6 0

Д И О Ф А Н Т

будет 67, а сам квадрат 4489, и он удовлетворяет пред­ ложенному.

15*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с гипотенузой или с одной из сторон при прямом угле, давала квадрат.

Если мы возьмем треугольник заданного вида, то нам опять придется устроить диоризм и искать другой прямо­ угольный треугольник и квадраттгое число, большее пло­ щади, чтобы квадрат, помноженный на <произведение) гипотенузы и одного из катетов искомого прямоугольного треугольника мипус тело, получившееся от произведения площади, упомянутого катета и разности, на которую гипотенуза превосходит этот катет, <а эта разность и сама должна быть квадратом), образовал квадрат.

Образуем треугольник из 4 и 1, а квадрат возьмем 36; он не будет больше площади. Итак, мы имеем два числа: одно — произведение гипотенузы и одного из ка­ тетов, т. е. 136, и другое телесное, образуемое площадью, одним катетом и разностью гипотенузы с упомянутым катетом и равное 4320. И так как некоторый квадрат, именно 36, умноженный на 136 и уменьшенный на 4320, образует квадрат, то будем искать другой квадрат, боль­

то найдем бесконечное количество квадратов, удовлетво­ ряющих поставленной задаче; один из них будет 676.

Итак, возьмем прямоугольный треугольник 8,т, 15а:, 17.т; получится

60аг + 8х = 676.+,

откуда X = 1/77.

К подстановкам. ■8. 15

77 ’ 77 ’

16. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы при рассечении пополам одного из его острых углов длина биссектрисы была рациональной.

KiS Пусть биссектриса будет 5а;, один из отрезков основа­ ния За;; следовательно, другой катет будет 4а;.

Положим, что первоначальное целое основание равня­ лось скольким-то единицам, кратным тройке; пусть их число будет 3; тогда остающийся отрезок основания будет 3—За;. Но так как угол разделен пополам и катет равеп

162

А РИ Ф М 1ІТ И К А К Н И Г А V I

4/3 прилежащего сегмента [основания], то гипотенуза равна 4/3 оставшейся части основания; но оставшаяся часть основания положена равной 3—Зж; следовательно,

17*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь его вместе с гипотенузой давала квадрат, а пери­ метр его был кубом.

Положим его площадь х, а его гипотенузу — некото­ рому квадратному числу единиц минус ж; пусть опа будет

16 — X.

Но так как мы предположили, что его площадь равна х, то произведение его сторон, прилежащих к прямому углу, получается равным 2х. Но 2х представляет произведение

И периметр получается равным 18 и не является кубом. Но 18 получилось из некоторого квадрата и 2; следова­ тельно, нужно будет найти квадрат, который после при­ бавления 2 становится кубом; следовательно, куб больше квадрата на 2.

Возьмем теперь сторону квадрата за ж + 1 , а сторону

двойку больше квадрата; значит, квадрат с двойкой, т. е.

площадь ж, то полагаю гипотенузу 25 — ж. Основание со­ храняется равным 2, а катет ж.

Остается, чтобы квадрат гипотенузы равнялся квадра­ там сторон при прямом угле. Получается

ж2 + 625 — 50ж — ж2 + 4,

откуда ж — 621/50.

К подстановкам. [Предложенное] выполнено.