Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА II

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ II

1.' Начиная с книги II, Диофант ставит и решает задачи, экви­ валентные неопределенным уравнениям и системам таких уравне­ ний, причем в книге II рассматриваются неопределенные уравнения

тоже каждое из уравнений имеет вторую степень относительно квад­ ратов неизвестных.

вая — к двум уравнениям с тремя неизвестными, вторая — к трем уравнениям с тремя неизвестными, так что она не является неопре­ деленной. Эти задачи аналогичны задачам І22 и І23 и, по мнению большинства исследователей, представляют позднейшую вставку. Во всяком случае, в книге II они являютсячужеродным телом.

где F2 (X, У) — неприводимый над полем Q рациональных чисел

многочлен второй степени с рациональными коэффициентами, Дио­ фант применяет следующие два метода.

М е т о д А. Пусть уравнение (1) имеет рациональное решение ЙТ0, У„. Тогда, чтобы найти новое рациональное решение, Диофант делает подстановку

(2)

189

КО М М Е Н Т А РИ И

где ф и ф также рациональны.

Мы будем и в дальнейшем для пояснения приемов Диофанта прибегать к геометрической) интерпретации, хотя сам Диофант этого не делал. Однако геометрический язык стал в настоящее вре­ мя столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.

В частном случае, когда уравнение (1) имеет вид

(l') У2 = аХ2 + ЪХ + с2,

подстановки Диофанта особенно просты. Действительно, (l') имеет

190

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА 11

Соответствующая кривая будет иметь рациональную бесконечно удаленную точку

Переходя к обычным координатам, получим уравнение (3).

Таким образом, подстановка (3) эквивалентна проведению пря­ мой через рациональную бесконечно удаленную точку кривой (2').

Заметим, что подстановки Диофанта по методам А и В совпа­ дают с так называемыми подстановками Эйлера, применяемыми при пптегрпроваппи дифференциалов вида

d X

V аХ" + ЬХ + с

Разница состоит лишь в том, что Диофант проводит все выклад­ ки над полем Q рациональных чисел, тогда как подстановки Эйлера можно применять и тогда, когда а или с не являются квадратами,

т. е. Y а или Y c иррациональны.

На то, что подстановки Диофанта совпадают с постановками Эйлера, обратил внимание еще Г. Г. Цейтен (История математики в древности и в средние века, М.— Л., ГТТИ, 1932, стр. 171). Однако на самом деле Диофант применяет свои подстановки не только в случаях, отмеченных Цейтеном, но и в самом общем слу­ чае, когда известно произвольное рациональное решение уравне­ ния (1) (см., например, задачу Па).

Основной результат Диофанта, полученный в книге II, может быть сформулирован так:

191

К О М М Е Н Т А Р И И

если неопределенное уравнение (1) имеет хотя бы одно рацио­ нальное решение, то оно имеет бесконечно много таких решений, причем все они представимы в виде

Хотя в книге II Диофант всякий раз находит только одно ре­ шение, отвечающее некоторому определением!/ значению параметра к, однако метод его не оставляет сомнений в том, что решений бес­

конечно много и что все они получаются с помощью одних и тех же операций, которые мы теперь записываем в виде формул (5) при различных значениях параметра к.

иѴІ15.

3.Поясняя методы Диофанта, мы все время прибегали к ге метрической интерпретации. Между тем ее не только не было у Диофанта, но она отсутствовала и у Виета, Ферма и Эйлера. Ско­ лем полагает1), что впервые такая интерпретация была дана во второй половине XIX века. Интересно отметить, что первая гео­ метрическая интерпретация метода А встречается в недавно опубли­ кованных Д . Т. Уайтсайдом математических бумагах Ньютона. Приведем перевод этого отрывка озаглавленного: «О решении чи­ словых проблем»2):

«Прежде всего искомые числа должны быть приведены к уравнению, отвечающему условиям вопроса; затем опи должны быть представлены как основание и ордината кри­ вой линии, которую определяет это уравнение. Пусть эта кривая будет D C , а числа — AB-, /іС(см. рис. 2), кривая же бу­ дет такой, что Число ВС, приставленное Как ордината к числу

это может быть сделано.

1. Если числа в уравнении не превышают второй сте­

Cambrige, 1971, стр. 110.

192