Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А II

задана точка F на кривой, для которой^.#, H F рациональны,

то из этого единственного примера может быть получено общее правило. Возьми на А Н <отрезок> Н Е некоторой ра­ циональной длины, проведи EF, которая пересечет кривую в G, и опусти GK параллельно СВ, тогда числа А К, KG будут

Рис. 2 .

рациональной длины. Проведи Н Е , встречающую кривую в G, тогда А К, GK будут рациональными».

Далее Иыотоп останавливается на различных частных спосо­ бах, с помощью которых можно отыскать на кривой второго поряд­ ка по крайней мере одну рациональную точку. Второй случай, от­ меченный Ньютоном, относится к кривым третьего порядка, и мы поместим соответствующий отрывок в комментариях к книге IV.

Диофант рассматривает случай а = у (задачи П1113), но его метод, как он сам впоследствии (см. книгу III) говорит об этом, проходит и для случая а : у — те2. Диофант вычитает одно уравнение из другого (если а : у = те2, то нужно предварительно уравнять коэф­ фициенты при х) и получает

т — ѵ2 = ß - б.

Разность ß — б он произвольным образом раскладывает на множи­

К О М М Е Н Т А Р И И

Диофант не исследует в общем виде, при каких значениях а,

ß, у и б система будет иметь решения. Этим вопросом, насколько нам известно, впервые занялся Баше де Мезирпак, а окончательное решение он получил в работах Эйлера, Лагража и Лежандра.

б) Если задача сводится к системе двух или трех уравнений (систем с числом уравнений, большим 3, в книге II нет), то Дио­ фант стремится найти такие рациональные выражения для всех неизвестных через одно основное неизвестное и параметры, чтобы все уравнения, кроме одного, обращались в тождества. Оставше­ еся уравнение дает возможность выразить это основное неизвестное как рациональную функцию параметров.

Для обращения одного или двух уравнений в тождества Дио­ фант, если это возможно, выражает неизвестные как линейные функции от одного основного неизвестного и одного параметра (гео­

метрически такие подстановки описывают систему прямолинейных образующих поверхности). Такой прием мы будем в дальнейшем для краткости называть методом образующих.

В других случаях Диофант пользуется алгебраическими тож­ дествами, причем в книге II встречаются только простейшие из них, а именно:5

а2 -ф- Ъ2 + 2ab — (а + Ь)2,

5.Задачи IIj_5 очень интересны. На первый взгляд кажетс

что они просто повторяют задачи Із і , І М| І и , І 3з и І 33. На этом

основании П. Таннери считал их последующей вставкой. Нам ка­ жется, что дело обстоят иначе. Первые задачи книги II принци­ пиально отличаются от соответствующих задач книги I, а именно

они сводятся к неопределенным уравнениям, т. е. представляют первые задачи собственно диофантова анализа.

Рассмотрим для примера задачу ІЬ. Она эквивалентна урав­

решение находится точно таким же способом, как и в задаче Ізі. Однако в задаче І3і отношение Y / Х задано, поэтому мы полу­ чаем только одно решение и задача является определенной, а в задаче ІІі это отношение не задано, мы можем давать ß любые ра­

циональные значения, причем каждому такому значению будет отвечать одно и только одно рациональное решение. Диофант, ве­ роятно, и поместил схожие по формулировке задачи в кииге I и па-

194

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I

чале книги II, чтобы ярче показать специфику неопределенного анализа.

Все пять первых задач решаются методом А: поскольку все

Как нетрудно видеть, подстановка Диофанта эквивалентна прове­ дению прямой через точку (0, 0), лежащую на окружности (*). Каждому рациональному значению углового коэффициента ß будет отвечать рациональная точка этой окружности. И обратно, если мы соединим рациональную точку окружности (*) с началом коор­ динат, то получим прямую У = ßz, где ß рационально.

Задача ІІ2 приводится к уравнению, являющемуся уравнением гиперболы, проходящей через начало координат; остальные три задачи также эквивалентны задачам на нахождение рациональных точек окружности (задача ІІ4) и двух гипербол (задачи П 3 и ІІ6). Заметим, что Диофант не мог записать произвольное уравнение второй степени (поскольку он не имел обозначений для второго неизвестного и его степеней); поэтому, вероятно, он и начал с того, что продемонстрировал свой общий метод на различных уравнениях второй степени простейшего вида.

6. Задача По является определенной, но по своей постановке близка к следующей, уже неопределенной задаче. Быть может,

*) Это решение не входит в Q+, т. е. оно не является допустимым. Но, отправ­ ляясь от него, Диофант находит решение, принадлежащее Q+.

К О М М Е Н Т А Р И И

в котором Диофант принимает а2 = 16. Рациональными его реше­ ниями будут, например, (0, а) и (0, — а). Чтобы найти другие ре­

шения, Диофант делает подстановку

X= X,

Y= кх — а

(т. е. применяет метод А). Действительно, он пишет: «Составляю квадрат (т. е. У2) из некоторого количества х-ов минус столько еди­ ниц, сколько их найдется в стороне 16-ти, пусть это будет 2х — 4». Здесь число 2 берется как одно из возможных, а число 4 фикси­ руется, поэтому адекватной буквенной записью подстановки Дио­ фанта будет X — X, Y = кх — а, где а фиксировано.

После подстановки получим

т. е. X и У выражаются через рациональные функции параметра.

Знал ли Диофант о том, что задача допускает бесконечно много решений? Здесь он об этом ничего не пишет, и только из его метода можно извлечь, что каждому рациональному к отвечает рациональ­ ное решение X , У. Однако в задаче ІШ» Диофант пишет: «Мы знаем,

что разложение данного квадрата на два квадрата можно производлть

196

Диофант показывает, что если известно одно рациональное реше­ ние (в данном случае 2, —3) уравнения второй степени F2{X, У) = О,

197