Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 1
К О М М Е Н Т А Р И Й
то X и Y можно представить как рациональные функции одного
параметра и, таким образом, найти бесконечно много других ре шений.
Замечание Ферма к задаче II* (№ III):
«Может ли также и число, являющееся суммой двух кубов, быть разделено на два других куба? Это трудный воп рос, решение которого, конечно, было неизвестно Баше и Виету, а может быть, и самому Диофанту; я решил его даль ше, в моих замечаниях к задаче IѴ2».
10. |
В задаче П а |
мы впервые встречаемся с «двойным равенст |
||
вом» (SircXoiaoTvj?), т. е. с |
системой вида |
|||
|
|
IX + |
а = |
U \ |
|
|
ІД + |
Ъ = |
Р2. |
Решение этой системы эквивалентно нахождению рациональных точек пространственной кривой Г. Диофант вычитает из первого уравнения второе (т. е. рассматривает проекцию кривой Г па пло скость (U , Р)). Он получает
а — Ъ = U2 —■ V2 = (U — Р) (U + Р).
Разность а — Ь он раскладывает на множители:
п приравнивает |
|
|
U + V = к, |
U - V = |
|
откуда |
|
|
j j _к" -)- а — Ь |
_ к"1— а-\- b |
|
|
V = |
2к |
|
|
|
□осле чего X находится из первого или второго уравнения:
X = t r - - g = p ^ — ■ у - а = У - Ь = [ к' - £ + Ьу - Ъ .
Решение Диофанта соответствует к = 4, а — 3, Ъ = 2.
И . Второе решение задачи П а также основано на исключении X из заданных уравнений (т. е. на проектировании), однако ре
зультирующее уравнение Диофант представляет в несколько ином пнде:
U2 — а + Ъ = Р2,
и решает методом В.
198
А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I
12. Задачи IIj ц составляют единое целое. Они отличаются по постановке потому, что Диофант ищет только положительные решения. Во всех трех задачах применяется один и тот же способ, описанный нами в п. 9.
13. Задачи Пи и Ш 5 эквивалентны системам |
|||
( Хх + Х2 = |
а, |
||
X ,2 |
± Х х |
= |
У Д |
Us* |
± * 2 |
= |
У**. |
В обеих задачах Диофант полагает |
а = 20 и для решения за |
||||||
дачи Пн делает подстановки: |
|
|
|
|
|||
Х 3 — х, Ух = |
X + |
ß, |
тогда Хх = |
2ßx -{- |
ß2 |
(ß = |
2); |
Уг = |
x + |
V. |
Т0ГДа Х г = |
2yx - f |
у2 |
(у = |
3), |
после чего Два последних уравнения тождественно удовлетворяются, а из первого он получает
2 (ß + Т) '
Чтобы решения были положительными, Диофант вводит ограни чение
Р* + 72 < в-
Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациональны.
Действительно, |
ß = Уі — Х 3, |
г = У2 — Х 3. |
Решению Диофанта можно придать простую геометрическую |
||
пптерпретацшо. |
Уравнение |
|
|
Х 32 + |
Х і = Ух2 |
определяет поверхность второго порядка в пространстве (Хі, Уі, Х 3),
а уравнения
Y i = X 8 + ß , X i = 2ßX3 -H ß21)
— систему прямолинейных образующих этой поверхности. Анало гично определяется система образующих и на второй поверхности, задаваемой последним уравнением первоначальной системы.
Наконец, Диофант находит в Q5 пересечение обеих этих систем
образующих |
с гиперплоскостью |
Х і + |
Х 2 = |
а. Размерность пере |
||
сечения всех |
трех |
многообразий |
будет равна 0. |
|||
|
Задача Пи решается аналогично. |
Подстановки здесь таковы: |
||||
Х 3 = |
* + Р, Хх = |
2ßx + ß2, Уі = X, |
X* = |
2 (ß - y)x + (ß2 - V2), |
||
У2 = |
X -)- Y- |
|
|
|
|
|
•) Здесь X , «= X .
199
К О М М Е Н Т А Р И И
|
14. |
Задача |
П |
и приводится |
к |
системе |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
( X |
|
а 2 |
= |
Уі2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ЬХ + |
а2 = |
У22, |
|
|
|
|||
где |
а |
— |
3, b — |
3 . |
Здесь уже коэффициенты при |
Л' не относятся |
||||||||
друг к другу, как квадратные чпсла, |
зато свободные члены являются |
|||||||||||||
квадратами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Диофант полагает Уі = |
а х |
+ |
а (а = 1) и получает |
из |
пер |
||||||||
вого |
уравнения |
X |
= |
а ? х г + |
2 а а х . |
|
Тогда первое уравнение тож |
|||||||
дественно удовлетворяется, |
а второе дает |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Ъ а - х - + |
2а Ъ а х |
+ |
а2 = У22. |
|
|
|
|||
Это уравнение имеет рациональное решение х = |
О, У2 = |
—а, по |
||||||||||||
этому |
|
Диофант |
делает подстановку У2 = ßz — |
а (ß = |
2), |
т. е. |
||||||||
применяет метод |
А. |
Окончательно |
ои |
получает |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
X ■= 2а |
ß + |
Ьа. |
’ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 - |
Ьа2 |
|
|
|
||
и X |
, |
Уі, Уг выражаются через рациональные функции двух пара |
||||||||||||
метров а и ß. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Можно показать, |
что на самом деле координаты точек кривой |
||||||||||||
X , |
Уі, |
У, зависят от отношения |
этих параметров, т. е. являются, |
|||||||||||
по существу, функциями от одного параметра. В этом легко убе
диться, подставляя х в выражения |
|
|
||
X = а2х2 + 2 а а х , |
|
|
||
Уі = |
а х + |
а, |
|
|
У2 = |
ßI — а. |
|
|
|
Так, например, |
|
|
|
|
Уі = ах -j- а = 2а aß |
|
a = a |
’1 Г + 2 І + Ь |
|
|
1 |
|
||
ß2 — Ьа2 |
|
Ъ |
||
а
Диофант, видимо, хорошо понимал это. Во всяком случае, ои при
нял а = 1. В с в о ю о ч е р е д ь ß/а |
рационально выражается через X , |
Уі и У2, действительно: |
|
ß - |
Уа + а |
Я |
Уі — а |
Таким образом, и здесь преобразования Диофанта бирациональны. 15. Задачи Пп и IІіэ представляются чужеродным телом
системе задач книги II. Задача 1117 сводится к двум линейным
200
А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А И
уравнениям с тремя неизвестными, |
а задача ІІів |
является опреде |
||
ленной. |
|
|
|
|
16. Задача Пи эквивалентна уравнению |
|
|
||
Л'з2 — ЛѴ- = а ( X , - |
- |
Л'і2) |
(а = |
3), |
которое определяет поверхность |
в |
трехмерном |
пространстве Х і , |
|
Х2 , Х я . При помощи подстановки
=X,
Х 2 = |
х - \ - а |
(а = 1) |
|
|
|
|
Диофант сводит задачу к |
уравнению |
|
|
|
|
|
х ~ -f- 2а ( а |
і ) х -(- а2 (а -(- 1) = X 2, |
|
||||
которое он решает методом В, полагая Х я |
= х |
+ |
у (у = |
3). |
||
Окончательно получается |
|
|
|
|
|
|
|
(я + 1) а2 —Т2 |
|
|
|
|
|
|
2у — 2а ( а |
+ 1) |
’ |
|
|
|
т. е. и здесь Диофант выражает неизвестные Х |
і , |
Х і , Х ъ |
как раци |
|||
ональные функции от двух параметров а н у. Для того чтобы реше ния были положительны, он вводит ограничение
2у < 2а (о + 1), (а + 1)а2 < у2.
Легко проверить, что и здесь все преобразования бирацноналъны.
17. Задачи ІІ20 и ІІ21 |
эквивалентны системам |
||
|Х 2 |
± |
Х2 = |
У2, |
[хі |
± |
х г = |
г 2, |
каждая из которых определяет поверхность А - |
в Q4. |
|||||
Здесь Диофант, как и в задачах ІІ14, ІІ15, выбирает линейные |
||||||
подстановки. |
В задаче Иго он полагает |
|
|
|||
(*) Х г = |
х , Х 2 = |
2 а х + |
а 2, |
У) = |
і + а |
(а = 1), |
которые обращают первое уравнение в тождество. |
Геометрический |
|||||
смысл уравнений (*) такой же, как и там. |
Диофант подставляет (*) |
|||||
во второе уравнение и получает |
|
|
|
|||
|
4аV “ + |
(4а3 + |
1)* + а4 = У2. |
|
||
К этому уравнению он применяет метод В, полагая |
||||||
откуда |
Уг = |
2а* - |
ß |
(ß = |
2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß»-<* |
Г - |
3 1 - |
|
|
|
4ая -f- 4aß + 1 |
L |
13J |
|
||
201