Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.10.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 1
И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ
или увеличенным иа единицу числом отрезков, изобража ющих эту сторону; в нашем случае п = 2. Даже обидно, что почти очевидные определения Гипсикла доказываются при помощи двух лемм (1 и 4). Заметим, что их доказатель ство становится понятным, только если оно проведено чисто алгебраически, и, кроме того, требует выхода за пределы второго и третьего измерений. Кстати, мы знаем, как эта теорема доказывается, но не знаем, как она могла быть получена.
Вприложениях основных теорем — нахождении мно гоугольного числа по заданной стороне и обратно — чертежи уже полностью отсутствуют и изложение про цесса близко к современному алгебраическому.
После этого помещена задача, решение которой в до шедшем до нас тексте не доведено до конца Диофантом. (Дошедшпй до нас текст обрывается.) Она читается так:
«Сколькими способами заданное число может быть представлено в виде многоугольного числа?»
Всовременной постановке эта задача может быть сфор мулирована так:
«Сколькими способами заданное число S может быть
представлено в виде суммы арифметической прогрессии с начальным членом единицей, числом членов п и раз ностью а?»
Это сводится к решению неопределенного уравнения
|
2S = 2п |
п (п — 1) а, |
|
|
|
||
где S — любое целое число, равное или большее 3, п |
2, |
||||||
а а изменяется в пределах от |
1 до S — 2. Задача имеет |
||||||
тривиальное решение п = |
2, |
а = S — 2. |
Кроме |
того, |
|||
для любого 1? |
3 можно найти конечное решение, |
давая |
|||||
п значения, большие 2, |
или cs — меньшие S — 2. |
Таким |
|||||
образом, можно |
найти |
все |
решения для |
заданного |
S. |
||
В общем случае их число определяется при помощи ре шения в целых числах неопределенного уравнения вто рой степени — задача, решение которой было получено индийскими математиками первого тысячелетия нашей эры и западноевропейскими в течение XVIII века.
Эта задача представляет естественный переход к «Ариф метике» Диофанта, в дошедших книгах которой реша ются в рациональных числах неопределенные уравнения второй и третьей степеней.
ж
® р >
ДИОФАНТА
АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
ШЕСТЬ
КНИГ
АРИФМЕТИКИ
И
КНИГА
О
МНОГОУГОЛЬНЫХ
ЧИСЛАХ
ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО «АРИФМЕТИКА»
КНИГА I
Достопочтеннейший Дионисий, зная что ты ревностно хочешь научиться решению задач, касающихся чисел, я попытался изложить природу их и могущество, начиная с тех оснований, на которых покоится эта наука.
Может быть, этот предмет покажется тебе затрудни тельным, поскольку ты еще с ним незнаком, а начинаю щие не склонны надеяться на успех. Но он станет тебе удобопонятным благодаря твоему усердию и моим пояс нениям, ибо страстная любовь к науке помогает быстро воспринять учение.
(I) Все числа, как ты знаешь, состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увели чиваясь до бесконечности. Так вот среди них находятся:
квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата;
затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону,
далее квадрато-квадраты от умножения квадратов самих на себя,
далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны,
далее кубо-кубы от умножения кубов самих на себя. Из них при помощи сложения, вычитания, умножения или нахождения отношения между собой или каждого с собственной стороной, составляются многочисленные
37
ДИОФАНТ
арифметические задачи; решеиие же их получается, если ты пойдешь путем, который будет указан дальше.
(II) Было припято, что каждое из этих чисел, получив шее более краткое наименование, становится начальным элементом арифметической теории, так, квадрат назы
вается «динамис» и обозначается |
знаком А |
с индексом |
|
Г: |
Дг — 86ѵофц<;. |
|
Кг — x6ßo<;. |
|
Куб обозначается знаком К с индексом Г: |
||
его |
Квадрат, умноженный на себя,— квадрато-квадрат, |
||
зпаком будут две дельты |
с индексом Г: ДТД— |
||
боѵар.о86ѵар.і<;. |
|
|
|
|
Квадрат, умноженный на куб собственной стороны,— |
||
квадрато-куб, его знак АК с индексом Г: ДКТ — Sovap,ox6ßo<;.
Куб, умноженный |
на самого себя,— кубо-куб, его |
знак — две каппы с |
индексом Г: КГК — xußoxößoc. |
Не получившее никакого из этих названий, ио состо |
|
ящее из неопределенного количества единиц называется
числом (аріѲр.о<;), и его знаком будет g. |
|
||
Другой знак |
. |
для неизменного и определенного коли- |
|
|
|
• |
|
чества единиц (т) р,оѵас) будет М с индексом |
о: М. |
||
(III) Подобно тому как для чисел одпоимеиные части получают названия, схожие с этими числами, например, для трех будет треть, для четырех — четверть, так и теперь для вышеназванных чисел подобноименные части
получают названия, |
соответствующие |
этим |
числам: |
||
для числа [ж] |
|
арифмѳтичная |
|
, |
|
для квадрата [ж2] |
|
квадратичная |
|
, |
|
для куба [ж3] |
|
кубичная |
, |
|
|
для |
квадрато-квадрата |
[ж1] |
квадрато-квадратичная Г - |
||
|
|
|
|
|
|_Ж4_ |
для квадрато-куба [ж5] |
|
квадрато-кубичная |
["jrj > |
||
для |
кубо-куба [ж6] |
|
кубо-кубичная |
|
. |
И каждая из них над знаком подобиоименного числа будет иметь знак * для различения вида.
(IV) Указав тебе названия каждого из этих чисел, перехожу к их умножению, это будет для тебя очевидным, так как названия уже объяснены.
38
|
|
|
|
|
|
|
|
АРИФМЕТИКА КНИГА I |
|
||
Число, умноженное |
на |
число, |
производит квадрат, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
па |
квадрат |
|
— |
куб, |
|
|
|
|
|
|
|
на |
куб |
|
— квадрато-квадрат, |
|||
|
|
|
|
|
на |
квадрато- |
|
— |
квадрато-куб, |
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрат |
|
— |
кубо-куб. |
|
|
|
|
|
|
|
на |
квадрато-куб |
|
||||
|
Квадрат же |
|
на |
квадрат |
|
— квадрато-квадрат, |
|||||
|
|
|
|
|
на |
куб |
|
— квадрато-куб, |
|
||
|
|
|
|
|
на |
квадрато- |
|
— |
кубо-куб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрат |
|
|
|
|
|
|
Куб |
же |
|
на |
куб |
|
— кубо-куб. |
|
|||
|
(V) |
Всякое |
число, |
умноженное на |
одноименную |
ему |
|||||
часть, производит единицу. |
|
|
|
|
|||||||
|
(VI) Так как единица остается всегда неизменной, то |
||||||||||
умноженный на нее вид остается тем же видом *). |
на |
||||||||||
|
(VII) |
Подобноименные части, |
умноженные друг |
||||||||
друга, |
образуют |
части, подобноименные перемноженным |
|||||||||
числам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, арифметическая часть, умноженная |
|
|||||||||
на |
арнфметичную, |
|
|
производит |
квадратичную, |
|
|||||
на |
квадратичную, |
|
|
|
|
кубичную, |
|
||||
на кубичную, |
|
|
|
|
|
квадрато-квадратичную, |
|||||
па квадрато-квадратичную, |
|
квадрато-кубичную, |
|
||||||||
на |
квадрато-кубичную, |
|
|
|
кубо-кубичную. |
|
|||||
|
И так подобиопмешю. |
|
|
|
|
|
|||||
|
(VIII) |
Арифметичпая |
часть, |
умноженная |
|
||||||
на |
квадрат, |
|
|
производит |
число, |
|
|
||||
на |
куб, |
|
|
|
|
|
— |
квадрат, |
|
|
|
на квадрато-квадрат, |
|
— |
куб, |
|
|
||||||
на квадрато-куб, |
|
|
|
— |
квадрато-квадрат, |
|
|||||
на |
кубо-куб, |
|
|
|
— |
квадрато-куб. |
|
||||
|
Квадратичная, |
умноженная |
арнфметичную часть, |
|
|||||||
на |
число, |
|
|
производит |
|
||||||
на |
куб, |
|
|
|
|
— |
ЧИСЛО, |
|
|
||
на квадрато-квадрат, |
|
— |
квадрат, |
|
|
||||||
па квадрато-куб, |
|
|
— |
куб, |
|
|
|
||||
па |
кубо-куб, |
|
|
|
— |
квадрато-квадрат. |
|
||||
1) |
вид — |
то |
еібос. |
(Ярш і. |
ред.) |
|
|
|
|
||
V
V
|
|
|
ДИОФАНТ |
|
Кубичная часть, умноженная |
|
|
па |
число, |
дает |
квадратичную, |
на |
квадрат, |
— |
арифметичную, |
на квадрато-квадрат, |
— |
число, |
|
на |
квадрато-куб |
— |
квадрат, |
на |
кубо-куб |
— |
куб. |
|
Квадрато-квадратичная же, умноженная |
||
на |
число, |
дает |
кубичную, |
на |
квадрат, |
— |
квадратичную, |
на куб, |
— |
арифметичную, |
|
на квадрато-куб, |
— |
число, |
|
на |
кубо-куб, |
— |
квадрат. |
|
Квадрато-кубичная же, умноженная |
||
на |
число, |
дает |
квадрато-квадратичную, |
на |
квадрат, |
|
кубичную, |
на |
куб, |
|
квадратичную, |
на квадрато-квадрат, |
|
арифметичную, |
|
на |
кубо-куб, |
|
число. |
|
Кубо-кубичная же, умноженная |
||
на |
число, |
дает |
квадрато-кубичную, |
на |
квадрат, |
|
квадрато-квадратичную, |
па |
куб, |
|
кубичную, |
на квадрато-квадрат, |
|
квадратичную, |
|
на квадрато-куб, |
|
арифметичную. |
|
|
(IX) Недостаток, |
умноженный на недостаток, дает |
|
наличие; недостаток же, умноженный на наличие, дает недостаток; знак же для недостатка— т|з (пси) укорочен ное и опрокинутое впиз: Д .
(X) После объяснения умножения становится ясным и деление заданных видов; начинающим будет полезно поупражняться в сложении, вычитании и умножении этих видов: как неравные наличия и недостатки прибав ляются к тем же самым, или также к наличиям и недо статкам, и каким образом из наличных видов и других недостатков вычитаются другие наличия или также нали чия и недостатки.
(XI) После этого, если в какой-нибудь задаче полу чится равенство одних видов таким же, но в неравном количестве, то в каждой из частей равенства нужно от нять подобные от подобных, пока один вид не станет равен тоже одному виду. Если же в какой-нибудь части
40