А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I
8.Задача ѴІ12 эквивалентна системе
( ^ Х У + Х = П,
(.*. х у + у = п .
Искомый треугольник Диофант |
снова берет в |
виде (р х , |
qx, |
гх). |
Однако здесь он полагает р |
= |
5, |
5 = 1 2 , г = |
13. |
Делает |
он |
это |
потому, что треугольник (Зх, |
Ах, |
5х) сразу бы привел к решению |
и, таким образом, Диофант не смог бы провести |
анализ |
задачи. |
При сделанных предположениях Диофант получает |
|
|
-1 pqx2 + рх = и2, |
|
|
|
|
1 |
|
qx — V3. |
|
|
|
|
_pqx2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть у — кх, тогда из второго уравнения |
|
|
|
|
Подставляя это значение в первое уравнение, получим |
|
|
р д № + |
pq2 ( д - р ) |
|
|
|
|
значит, |
|
|
|
|
|
|
|
p q № + -|-P5S ( . д - р ) =
Согласно второй лемме для существования рационального решения достаточно потребовать, чтобы
м + | |
и , ( ? - р ) = В |
Диофант принимает, что q = |
т2 >• р, и делит полученное уравне |
ние на 5 = т2, тогда оно приобретает |
вид |
Р + |
— Р) |
= |
Чтобы удовлетворить этому условию, Диофант ищет такой треуголь ник, для которого
д ] = □ . д — р = □& р + | р? =
К О М М Е Н Т А Р И И
Согласно первой из лемм этим условиям удовлетворяет треугольник (3, 4, 5). Поэтому Диофант шцет решение в виде (Зх, 4х, 5х), тогда
X
где к определяется из уравнения |
12/с2 + 24 |
= |
Q1, или ЗА:2 + |
6 = |
= □ |
= |
иг. |
Значение А: = 1 не подходит, так как ему соответствует |
X < |
0. |
Поэтому ищем другое решение, полагая |
|
|
|
|
|
|
|
к = t -f- 1, |
|
w = It — 3. |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
1 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р — 3 |
|
|
|
|
|
и прд I = 3 получаем t = 4, а к ~ |
5. Это и есть решение Диофанта. |
„ |
|
|
|
„ |
|
|
4 |
, |
4 |
4 |
|
4 |
Соответствующий треугольник есть 3 • jg |
, 4- jg , |
5- jg , где х = |
jg . |
|
|
Замечание Ферма к задаче VTla (№ XXXIX): |
|
|
|
«Диофант дает только один вид треугольников, удовлет |
|
воряющих задаче; однако наш метод доставляет бесконечно |
|
много треугольников различных видов, которые могут быть |
|
выведены последовательно из решения Диофанта. |
|
|
|
Итак, пусть уже найден треугольник (3, 4, 5), который |
|
удовлетворяет условию, „чтобы произведение сторон при |
|
прямом угле, сложенное с |
|
произведением большего катета, |
|
разности этих катетов и площади, давало квадрат“. Из него |
|
надо |
вывести другой |
треугольник, |
обладающий тем |
же |
|
свойством. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть наибольшая из сторон при прямом угле искомого |
|
треугольника будет 4, а наименьшая 3 + |
X . Произведение |
|
сторон при прямом угле, к которому прибавленно произведе |
|
ние наибольшей стороны при прямом угле на разность этих |
|
сторон и площадь треугольника, |
составит 36 — І2 Х — 8 Х 2, |
|
что надо приравнять квадрату. Кроме |
того, стороны |
4 и |
|
и 3 + |
X , |
будучи сторонами при прямом угле прямоугольного |
|
треугольника, должны давать сумму квадратов, равную квад |
|
рату; |
но |
сумма их квадратов |
составляет |
25 + 6Х + |
X2, |
|
что также надо приравнять квадрату. И получается двой |
|
ное равенство, именно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 — 12Х — 8Х2 и 25 + 6Х + X2
должны равняться квадратам. Решение его найти легко»-
А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I
9. Задача ѴІ13 эквивалентна системе
■L x y - x = u ,
.4- X Y - Y = D -
Диофант решает ее тем же методом, что и предыдущую. Замечание Ферма (№ XL):
«Нашим методом решается следующий вопрос, который иначе был бы очень труден:
Найти прямоугольный треугольник, у которого каждая из двух сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь,
составляет |
квадрат». |
|
10. Задача ѴІ14 эквивалентна системе |
|
Y |
x Y - z ^ a , |
|
Y * Y - X = n- |
Диофант полагает |
сначала, |
что искомый треугольник имеет вид |
(рх, qx, гх), где р |
= 3, q = |
4, и г = 5. Тогда условие задачи сво |
дится к системе |
|
|
|
Y |
Pq& — гх = ѵ2, |
|
L |
pqx2 — px = и2. |
Приравнивая, как и в двух предыдущих задачах, и — кх, Диофант
получает из второго уравнения
р1
Подставляя это значение в первое уравнение, найдем
рп-а — гра + грк2 _ „2
(о-**)*
значит,
грк- — ар (г — р) =
При выбранных значениях р, q, г получим
15/с2 — 36 = □ ,
или 15 = а2 + Ъ2 , что невозможно. Здесь Диофант снова пользу
ется предложением: если число, после выделения всех квадратных
К О М М Е Н Т А Р И И
делителей, делится на простое число вида 4л — 1, то оно не представ ляется суммою двух квадратов (см. задачу Ѵв и комментарий к ней).
Итак, требуется найти прямоугольный треугольник, для кото
рого
грк2 — ар {г — р) — □ .
Диофант образует искомый треугольник из двух чисел |, г). Тогда написанное выше уравнение приобретает вид
2Ш 2 + Л2) *2 - 2 6 V (Г“ - т|2) (І - ц)2 = □ ,
при этом в качестве вычитаемого катета Диофант выбирает q = 2|г|.
Деля обе |
части равенства |
на |
(| — г|)2 |
к |
и обозначая ^ _ = t , |
получим |
|
|
|
|
(1) |
21-п (I2 + ц2) /2 |
- |
2 |2Т|2 (І2 - |
Т|2) = |
Диофант замечает, что уравнение удовлетворяется, если ^ и т]
будут подобными числами, т. е. |
= |
[П. |
Заметим, что если поло |
жить f2 |
= £Г), |
то уравнение |
(1) выполняется. |
|
|
|
Диофант |
принимает | |
= |
/2 (= 4 ), |
т| = |
1, |
тогда |
образованный |
ими треугольник будет г4 — 1, 2і2, |
г4 + 1 |
(у Диофанта 15, 8, 17), |
и |
если |
искать |
решение в |
виде X |
= |
(г4 — 1) |
т, Y |
= 2 г 2т, Z = |
= |
(г4 + |
1) т, |
то |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<2 (*4 _ |
|
1) Т2 _ |
2*2 т = |
□ . |
|
|
Берем сторону этого квадрата равной Ат (у Диофанта А = 6) и полу чаем
т = ______ ^ ______
і2(і« — 1) - X 2 ’
откуда находим X , Y , Z как рациональные функции двух пара
метров.
11. Задаче ѴІ16 предшествует лемма, которая носит еще боле общий характер, чем вторая лемма к задаче ѴІ12 (см. комментарий 8 к этой книге). В ней устанавливается, что если уравнение
аХ 2 — Ь = Y 2
имеет некоторое рациональное решение р , д, то можно найти бес конечно много других рациональных решений рп , дп , причем
Р < Рі < • • • <Рп <
Диофант проводит доказательство для случая а = |
3, Ъ = 11, |
однако и здесь метод его доказательства вполне общий. |
Он делает |
подстановку X = х + р, |
Y = У, тогда |
ах2 |
2арх -f- ф = Y 2. |
