Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

КОММЕНТАРИИ

Постановка задач относительно прямоугольных треугольников позволяет Диофанту вводить в рассмотрение различные функции ікчізвестного н параметров как площадь треугольника, его пери­ метр, сумму площади и одного из катетов и т. д.

Таким образом, к общему условию (1) присоединяется еще иѳ- . которая функция

т. е. предполагает, что искомый треугольник подобен наименьшему треугольнику в целых числах (3, 4, 5). Далее он оперирует так, как если бы 3, 4, 5 были произвольными рациональными числами, удовлетворяющими уравнению (1). Поэтому мы лучше всего пере­ дадим ход его мыслей, если примем, что

(3) X = рх, У = qx, Z = гх.

где р, q, г — одно из решений уравнения (1). Подставляя значения

(3) в условно (2), Диофант получает некоторое уравнение относитель­ но р, q, г а X . Из него он находит, какому условию должны удовлет­ ворять р, q, г для того чтобы X было положительным н рацио­ нальным. Таким образом, он приходит к треугольнику (p,q, ?),

которому должен быть подобен искомый, а затем находит п коэф­ фициент подобия X.

Только в задаче ѴІ12 Диофант цредіюлагаот, что стороны иско­ мого треугольника имеют вид 5х, І2х, 13х. При этом после анализа

задачи оказывается, что следует взять Зх, 4х и 5х. Почему же в том единственном случае, когда искомый треугольник подобен треуголь­ нику (3, 4, 5), Диофант взял в качестве предполагаемого другой? Очевидно, оп это сделал потому, что треугольник (3, 4, 5) сразу же привел бы к решению н не позволил бы провести анализа. Таким образом, в качестве произвольных параметров он мог брать любые рациональные числа, кроме конечного числа таких, которые удов­ летворяют условиям задачи.

Многие теоретико-числовые предложения Ферма были выска­ заны в замечаниях к этой книге. Так, например, Ферма утверждает, что уравнение

290

АРИФМЕТИКА КНИГА VI

дим его знаменитое доказательство предложения: не существует треугольника в рациональных числах, площадь которого была бы квадратом, пз которого следует неразрешимость в целых (а значит, и в рациональных) числах уравнения

X 4 + У4 = Z4.

1. Задачи VIj и Ѵ12 эквивалентны соответственно системам

Обе задачи решаются аналогично. Для решения первой из ннх

Диофант принимает и — у и получает, что параметр у должен рав­ няться 2. Таким образом, и здесь конкретное число 3 играет роль

Окончательно получим

2.Задачи ѴІ3 и ѴІ4 сводятся соответственно к уравнениям

~XY ± ™= □,

КОММЕНТАРИИ

где т — заданное число. В задаче Ѵ13Диофант берет т = 5, а в зада­ че ѴГ4— т = 6.

В обоих случаях он ищет треугольник в виде (Зя, Ах, 5х),

которых еще должны быть найдены из условия задачи. Поэтому примем, что искомые числа X , Y , Z равны X = р х , Y — qx, Z = гх

Таким образом, задача приводится к следующей: найти такой пря­

«Ошибка Виета 4), без сомнения, имеет такое происхож­ дение: знаменитый муж приравнял площадь к разности двух биквадратов X 4 — 1, чтобы при прибавлении упятерсипого

квадрата получился квадрат.

Поскольку заданное число 5 является суммой двух квад­ ратов, то можно найти упятеренный квадрат, который, умень­ шенный на единицу, будет квадратом. Положим сторону квад­ рата, который нужно упятерить, равной X -f- 1, причем вместо + 1 при X можно взять любое другое число. Упяте­

что должно равняться квадрату. Это сделать нетрудно, так как число едипиц является квадратом вследствие предполо­ жения, присоединенного в качестве условия.

Но Внет пс заметил, что вопрос так же хорошо решается, если в качестве площади вместо X4 — 1 взять 1 — X4, так как тогда он немедленно приводится к тому, чтобы заданное число 5, 6 или любое другое, умноженное на квадрат, сделать квадратом после прибавления единицы, что всегда легко решить, поскольку единица является квадратом.

Мы решили эту и две последующие задачи особым мето­ дом, который позволяет, например, отыскать треугольник, площадь которого, увеличенная на 5, составляет квадрат; а именно такой треугольник в минимальных числах есть (9/3, 40/3, 41/3); площадь его 20 и при прибавлении 5 дает квадрат 25.

'1 При своем решении Внет предполагал, что заданное чпело является сум­

мою двух квадратов (как, например, число 5). Такое предположение, как показывает Ферма, излишне.