Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

чтобы одно число из первого разложения [yj имело бы заданное отношение к одному из чисел [z2] второго раз­ ложения, оставшееся же [гх] из второго разложения имело бы заданное отношение к одному из чисел [щ] третьего разложения, а оставшееся после третьего разложения число [iij имело бы заданное отношение к числу [у2], оставшемуся после первого разложения.

Пусть будет предложено разложить 100 на два числа трояким образом так, чтобы большее число из первого разложения [yj было втрое больше меньшего числа [z2] из второго разложения, а большее число из второго раз­

разложения [u.J было бы в четыре раза больше меньшего числа из первого разложения1).

Положим меньшее число из третьего разложения [ц2] равным z; тогда большее число из второго разложения

будет 100 — 2х. И так как втрое больше его [z2] будет большее число из первого разложения, то оно [yj получится как 300 — 6z; следовательно, меньшее из чисел [у2] первого разложения будет 6z — 200. А так как это число [у2], взятое 4 раза, дает большее число [a j из третьего разложения, то оно будет 24z — 800. Наконец, сложенные числа третьего разложения дадут 100. Но это сложение дает 25z — 800. Это равно 100; z оказывается равным 36.

К подстановкам. Меньшее из чисел третьего разложения равно 36, а большее 64.

Меньшее число первого разложения 16, а большее 84. Меньшее число второго разложения 28, а большее 72. Ясно, что они удовлетворяют условию задачи.

14. Найти два числа таких, чтобы их произведение имело заданное отношение к их сумме.

Необходимо, чтобы предположенное количество еди­ ниц одного из чисел было больше подобноимеиного числа единиц в заданном отношении.

Пусть отношение произведения к сумме будет тройным.)*

*) у 1 = 3 (І00 — z,), — 2i(j, 100 — и , = 4 (100 — i/i).T (iIptut. перво,)

47

ДИОФАНТ

Положим 1-е из этих чисел равным х, 2-е же согласно предварительному условию должно быть большим 3,

Положим, что 1-е число [у], заимствуя от 2-го 30, ста­ новится в 2 раза больше остатка:

[у + 30 = 2 (z - 30)]

а 2-е Ы, взяв от 1-го 50, становится в 3 раза больше остатка:

[z + 50 = 3 (у — 50)].

Возьмем теперь 2-е число равным х + 30; тогда 1-е число [у] должно оказаться равным 2х — 30, чтобы после получения от второго 30 оно стало вдвое больше остатка *).

Далее, 2-е число [z = х + 30], получив от 1-го 50, должно стать втрое больше 2х — 80.

Но если 1-е отдает 50, то остаток будет 2х — 80; 2-е же, приняв от 1-го 50, станет х 4- 80. Остается сделать, чтобы X + 80 равнялось утроенному 2х — 80; следова­ тельно, утроенное меньшее равно большему:

48

Положим, что все три вместе равны х. И так как 1-е и 2-е дают 20, то, отняв 20 от х, получу 3-е х — 20, на том же основании 1-е будет х — 30, а 2-е х — 40; остается сумму всех трех чисел приравнять х , но три сложенных числа дают За: — 90; это равно х\ и получается х = 45.

К подстановкам. 1-е будет 15, 2-е 5, и 3-е 25. И дока­ зательство очевидно.

17. Найти четыре таких числа, чтобы они, сложенные по три, давали заданные числа.

Необходимо, чтобы третья часть суммы всех четырех [заданных] была больше каждого из них.

Пусть три последовательных числа, начиная с 1-го, дают в сумме 20, три, начиная со 2-го, — 22, три, начиная

все четыре числа; их сумма будет равна х. Но эта же сум­ ма будет Ах — 93; это равно х, которое получается рав­ ным 31.

К подстановкам. 1-е будет 9, 2-е 7, 3-е 4 и 4-е 11. И они удовлетворяют задаче.

18. Найти три таких числа, чтобы сумма попарно двух превышала бы оставшееся на заданное число.

Пусть сумма 1-го и 2-го чисел превышает 3-е на 20, сумма 2-го и 3-го больше 1-го на 30, а сумма 3-го и 1-го больше 2-го на 40.

Положим сумму всех трех равной 2х. Так как 1-е и 2-е вместе больше 3-го на 20, то, прибавив к обеим частям 3- е, получим, что сумма всех трех будет равна удвоенному 3-му и 20. Значит, если от суммы трех, т. е. 2х, я отниму 20, то получу удвоенное 3-е, равное 2х — 20; следова­ тельно, одни раз взятое 3-е будет равно х — 10.

На том же основании 1-е число будет равно х — 15, а 2-е X — 20. Теперь все три вместе дадут 2х, но их сумма составит За: — 45, а это равно 2а:. Отсюда х получается равным 45.

Кподстановкам. 1-е число будет 30, 2-е 25 и 3-е 35.

Ивсе они удовлетворяют предложенному.

49

ДИОФАНТ

[И н а ч е.] х) Так как 1-е и 2-е (вместе) превышают 3- е на 20, то пусть 3-е будет х; следовательно, вместе взя­ тые 1-е и 2-е равны х + 20. Затем, поскольку 2-е п 3-е превышают 1-е на 30, то я полагаю, что 2-е равно столь­ ким единицам, сколько будет в полусумме 20 и 30, т. е. 25. И так как 1-е и 2-е вместе будут а: + 20, а 2-е равно 25, то, следовательно, остающееся 1-е будет х — 5. Затем нужно, чтобы 3-е вместе с 1-м превышали 2-е на 40, но 1-е вместе с 3-м дают 2а: — 5; значит, они равны 65 '1). Прибавим общий недостаток. Тогда 2а: равно 70; и х

получается равным 35.

К подстановкам. Я положил 1-е равным х — 5; оно будет 30, 2-е 25, а 3-е х , оно будет 35.

19. Найти четыре числа таких, чтобы сумма трех из них превосходила оставшееся на заданное число.

Необходимо, чтобы полусумма четырех избытков была больше каждого из них.

Предположим, что сумма трех последовательных чи­ сел, начиная с 1-го, больше 4-го на 20, а сумма трех, на­ чиная со 2-го, больше 1-го на 30, аналогично сумма трех, начиная с 3-го, больше 2-го на 40 и сумма трех последо­ вательных, начиная с 4-го, больше 3-го па 50 3).

Положим, что сумма всех четырех (чисел) будет 2х. И так как три числа, начиная с 1-го, больше 4-го на 20, а на сколько первые три числа больше 4-го, на столько же все четыре больше удвоенного 4-го, четыре же числа равны 2х, то, следовательно, 2х превышают удвоенное 4-е

Р Второе решение, по мнению Таннери, является позднейшей вставкой.

Ш рим . ред.)

{.Прим, перси.)

50