Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

можно. Поэтому преимущество применения вероятност­ ных векторов-строк п матриц очевидно.

Вернемся к примеру. Пусть в какой-то из дней на фабрику поступила руда с содержанием металла А. Тогда па следующий день в соответствии с условием задачи поступит руда с содержанием металла А, Б или В с вероятностью РА, выражаемой вектором-строкой

Рл (0,5 0,25 0,25).

Через 2 дня на фабрику поступит руда с содержанием

А, Б, В с вероятностями Р:

РА = 0,5-0,5 + 0,25-0,5 + 0,25-0,25 = 0,437,

РБ = 0,5-0,25 + 0,25-0 + 0,25-0,25 = 0,188,

Р в = 0,5-0,25 + 0,25-0,5 + 0,25-0,5 = 0,375.

Эти расчеты можно более наглядно проиллюстрировать рисунком (рис. 13), где изображены два шага марков­ ского процесса (обозначения и конкретные значения вероятностей взяты из рассматриваемого примера). Значения вероятностей по каждой ветви перемножаются, а затем на каждом шаге процесса вероятности, относя­ щиеся к одноименному параметру (или переменной), складываются, что равносильно перемножению ,матриц. Сравнение результатов расчета по графику (см. рис. 13) и перемножение матриц показывают их полную равно­ значность. Если через 1 день вероятность поступления

Если через 1 день после поступления сорта А вероят­ ность поступления сорта Б равна 0,25, то еще через день вероятность поступления сорта А после сорта Б будет 0,25-0,5 = 0,125 (см. первый столбец матрицы Р ) . Ана­ логично вероятность поступления сорта А через 2 дня (при сорте В — через I день) равна 0,25-0,25 = 0,0625. Общая вероятность поступления руды сорта А через 2 дня будет равна сумме произведений вероятностей по­ ступления руд различных сортов через 1 день на вероят­ ности поступления сорта /1 после поступления соответ­

ствующих сортов А, Б и В.

112

Таким образом, вероятность поступления на фабри­ ку руды сорта А через 2 дня равна произведению век­ тора строки А на столбец А матрицы Р . Аналогично для сортов Б и В вероятности поступления руды раз-

Р

ЕА - 0,2500

0,1250

0 ,0 6 2 5

0 ,0 3 7 5

2 6 = 0,1250

0,0000

0,0625

0,1875

2 В = 0,1250

0,1250

0,1250

0,5750

Е (4*6*8) = 0,4375

0,1875

0,3 7 5 0

1,0000

Р и с. 13. Графическое изображение вероятности поступления руды на фабрику (цепь Маркова).

ных сортов по дням выглядят следующим образом. На­

іез 2 дня на завод поступит руда с вероятностями

А Б В

и, сколько бы ни умножали As на матрицу Р , данный вектор-строка практически не изменится.

Как видно из изложенного, вероятность поступления

Рассмотренный пример является примером марков­ ского процесса, или марковской цепи. Марковская цепь— это конечный стохастический процесс, состояния которого изменяются только в дискретные моменты вре­ мени. Марковская цепь полностью определена, если ис-

114

ходное состояние процесса фиксировано и для любого п соблюдается условие

А п= Ап_,Р.

Для расчета марковской цепи необходимо знать ис­

Выполнив аналогичные расчеты по определению ве­ роятностей поступления руды сортов А, Б и В на обога­ тительную фабрику после поставки на фабрику сорта Б (исходный пункт расчета), получим соответственно

лучается, если принять за исходный пункт поставку на обогатительную фабрику руды сорта В, т. е.

ты говорят о том, что мы имели дело с особым типом марковских процессов, позволяющих относительно бы­ стро определить долгосрочный прогноз (особенно если переход из одного состояния в другое происходит через 1 день, как принято в рассматриваемом численном при­

мере, в течение месяца, квартала или года). Такой тип

8* 115