Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

тежиая функция A4(U; W) удовлетворяет неравенству (4.14) [35, 36]. Вообще говоря, выражения «игра имеет решение» и «игра имеет седловую точку» — синонимы.

В теории игр часто используют термины «максмин», означающий максимальный из всех минимально возмож­ ных выигрышей, или ннжиюю цепу игры (находится по строкам платежной матрицы), и «минимакс», соответ­ ствующий минимальному из всех максимально возмож­ ных выигрышей ßj (находят по столбцам платежной матрицы — табл. 50).

А\

Неравенство превращается в равенство в случае, если игра имеет седловую точку в чистых стратегиях.

В игре, где выбор каждого из игроков ограничен чи­ стыми стратегиями, гарантированный выигрыш первого игрока (который, естественно, не знает выбора против­ ника) равен max min Второй игрок, не зная вы­

14* 211

бора противника, может тем не менее не позволить ему выиграть больше min max ||«,;||.

Таким образом, в зависимости от выбранных обоими игроками чистых стратегий выигрыш первого игрока при указанных условиях заключен .между max min ||я,-,Ц

и min max ||au||.

Если же первый игрок получает информацию о вы­ боре противника, его гарантированный выигрыш стано­ вится равным min max ||агр-||. Это означает, что

а = min max || atj || — max min || ai;- || .

представляет приращение гарантированного выигрыша первого игрока за счет информации о выборе противни­ ка. Первому игроку целесообразно стремиться получить такую информацию только в том случае, если плата за нее не превышает величины о. В игре с седловой точкой в чистых стратегиях информация о выборе противника не меняет гарантированного выигрыша игрока.

В случае смешанных стратегий игры

которое переходит в равенство в случае, если игра имеет седловую точку (W*, U*).

Максмин — это гарантированный средний выигрыш первого игрока, не знающего, какую смешанную стра­ тегию выбрал его противник. Минимакс-— это гаранти­ рованный средний выигрыш первого игрока, имеющего информацию о смешанной стратегии, выбранной вторым игроком.

212

Основная теорема теории игр утверждает, что любая матричная игра двух лиц с нулевой суммой всегда имеет решение, возможно, в смешанных стратегиях. Другими словами, всегда существуют такое число и такие векто­ ры U* и W:|:, что

M(V, W *)< l/ = M(U*f W *)= minmaxM(U, W) =

= max min M (U, W )<M (U*, W).

определения оптимальной смешанной стратегии яв­ ляется линейное программирование, так как по существу отыскание оптимальной смешанной стратегии может быть представлено в виде одной из задач распределения.

Ниже приведены примеры применения теории игр для решения горно-экономических задач.

Пример 1. Необходимо определить оптимальную про­ изводительность рудника при запасах месторождения, оцениваемых 20—40 млн. т.

Предположим, что фактические запасы руды на ме­ сторождении при его отработке могут составить 20, 25, 30 или 40 млн. т. Возможные варианты количества за­ пасов руды будем называть стратегиями природы.

Для известных запасов руды может быть с помощью проектных расчетов выбрана наиболее оптимальная

варианты оптимальной производительности рудника бу­ дем называть стратегиями человека. Тогда платежная матрица будет иметь следующий вид:

2-й игрок (природа) Стратегии 2-го игрока

20 25 30 40

(4.17)

2 1 3

производительность рудника, равная соответственно 1,0; 1,2; 1,5 и 2,0 млн. т/год, ац -— величина выигрыша (про­ игрыша). Без пояснительных записей платежная мат­ рица (4.17) имеет вид

В качестве критерия оценки оптимальной производи­ тельности рудника может быть принята сумма капи­ тальных затрат н их эксплуатационных расходов, при­ ходящихся на один год, или эффективность капитальных вложений (стоимость 1 г руды, приходящаяся на 1 руб. капитальных вложений.)

Пусть для различных стратегий природы и человека суммы капитальных затрат и эксплуатационных расхо­ дов, определенные проектными расчетами, составляют (в млн. руб.):

Поскольку при выборе оптимальной производитель­ ности рудника неизвестны реальные запасы, целесооб­ разно оценку эффективности каждого из решений про­ водить не непосредственно по абсолютным суммарным затратам, а по потерям затрат в результате принятия неправильного решения. К примеру, для первой страте­ гии человека (производительность рудника 1 млн. т/год) суммарные затраты составляют 75 млн. руб. для запа­ сов 20 млн. т, 90 млн. руб. — для запасов 25 млн. г, ПО млн. руб. — для запасов 30 млн. т, 150 млн. руб.— для запасов 40 млн. г.

Определим возможные потери затрат при неправиль­

214