Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

если фактические запасы руды составят 25 млн. г, то ежегодно придется тратить 90 млн. руб. (на 15 млн. руб.

больше, чем при запасах 20 млн. г, т. е. 90—75=15);

если фактические запасы будут 30 млн. т, то ежегод­ ный перерасход (потери) составит 110—75 = 35 млн. руб., для запасов 40 млн. г — 75 млн. руб. (150—75 млн. руб.).

Аналогично определяем потери для 2, 3 и 4-й страте­ гий человека, т. е. для производительностей рудника 1,2; 1,5 и 2,0 млн. т/год.

Результаты определения потерь от ошибочно приня­ того решения сведем в платежную матрицу Мр

ошибочного решения, равная 15 млн. руб. в соответст­ вии с (4.13) н (4.16). Это значит, что по критерию сум­ марных капитальных и эксплуатационных затрат в год наиболее оптимальной является 3-я стратегия человека (производительность рудника 1,5 млн. т/год), обеспечи­ вающая минимальные из возможных максимальных по­ терь (обеспечивающая «минимальный риск»).

точка, как правило, отсутствует, поэтому решение игры заключается в интервале ст=пи'п maxßj,- — тахтіпщ ц.

Теперь, пользуясь вторым критерием (максимальная эффективность капиталовложений), определим опти­ мальную производительность рудника. Для этого по­ строим платежную матрицу М2, элементами которой бу­ дут значения эффективности капитальных вложений для всех стратегий природы и человека. Эти значения, как и другие, относящиеся к одному конкретному варианту, могут быть определены проектными расчетами.

215

максимальный из минимальных выигрышей (максималь­ ная из минимальных гарантированных эффективность капиталовложений), равный 9,0 [решение задачи (4.20)].

В соответствии с (4.20) оптимальной стратегией че­ ловека по критерию эффективности капиталовложений является выбор производительности рудника

1.2 млн. т/год.

Как видно из примера, по первому критерию сле­

ходимо учитывать значимость критериев. Пусть в нашем примере критерий суммы годовых затрат имеет опре­ деляющее значение, тогда оптимальным будет решение построить рудник производительностью 1,5 млн. т/год, что обеспечит минимальный из максимально возможных риск перерасходования суммарных годовых затрат в ус­ ловиях неопределенности с величиной запасов, оцени­ ваемых в пределах от 20 до 40 млн. т.

Приведенный пример показал, что методы теории игр могут быть с успехом применены в проектировании и прогнозировании в условиях неопределенности исход­ ной информации.

Пример 2. Рассмотрим возможность приложения матричных игр при планировании добычных работ при разработке жильных месторождений ценных руд с уче­ том случайного характера природных условий.

Жильная площадь, подлежащая отработке по состоя­ нию на определенный период времени, может быть рас­ пределена по ее продуктивности:

ЛХ< Л ,‘< . . - < А п.

2 1 6

Продуктивность жп.пыюй площади А,- выражается в ки­

qt кг металла, рассчитанных в соответствии с математи­ ческой моделью себестоимости 1 кг.

Сумма затрат на горные работы по добыче продук­

Проблема заключается в том, чтобы выполнить пла­ новое задание по добыче Q т металла при минимальной стоимости единицы (1 кг) продукции. При этом план добычи продукции придется выполнять по рудным жи­ лам с различной продуктивностью жилыюй площади Л,-. Величина qi в этом случае означает запланированное количество металла, подлежащее добыче в г-м выемоч­ ном поле. Фактический объем добычи q^w) будет отли­ чаться от запланированного па величину ±га,-.

Фактор риска а является величиной случайной. Его возникновение связано с характерными геологическими особенностями месторождений рассматриваемого типа, и исключить его при планировании добычи по отдель­ ным выемочным полям не представляется возможным. Однако при планировании добычи по п выемочным по­ лям величина а,- может быть определена из статистики предприятия.

Для каждого щ (і = \ , п ) существует функция плотно­

сти распределения вероятности ср(а,-) которая в случае нормального распределения имеет вид

Если предположить, что фактический объем добы­

того металла при отработке всей запланированной жиль-

П

ной площади 2 меньше, чем было запланировано

;=і

'217

быча продукции в следующем выемочном поле или ре­ зервных блоках должна осуществляться с затратами на 1 кг металла, не превышающими Кн-

Естественно, что производственное предприятие заин­ тересовано в том, чтобы себестоимость 1 кг металла в конечном продукте, а также фактор риска а, были ми­ нимальными.

Функция ф ((Хі ) , как правило, не имеет нормального

распределения. Если исходить из нормального распре­ деления средней некоторой выборки размером п из ко­

— СО

означает вероятность того, что средний фактор риска а,- выборки размером п не превышает величину Х|<.ѵ2< ...

..

Если выполнить эти расчеты для всех значений и,-

(і=1,п) и всех продуктивностей А,-, можно составить матрицу вероятностей Р (т < х ) величины риска (воз­ можной ошибки), характеризующих запланированную продуктивность жильной площади А,- (табл. 51).

218

С помощью генератора случайных чисел берется слу­ чайная выборка случайных чисел. Функция распределе­ ния Рі (<хі<.х) рассчитывается по специальной подпро­ грамме.

На основе изложенного можно сформировать сле­ дующую игру. Стратегия игрока А (производственное предприятие) состоит в выборе п площадей с продуктив­ ностью А;. Природные факторы отражаются частостью фактора риска .ѵ случайной выборки размером п. Затра­ ты на запланированную продукцию в і-м выемочном поле составляют

С учетом фактора риска а,- фактическая продуктивность в /-м участке составит

причем величина а,- в данном случае характеризуется вполне определенной вероятностью. Функцию возмож­ ных потерь можно записать в следующем виде:

219

единицу металла в конечной продукции технологической цепи горнорудного производства должен осуществляться для к вариантов результирующих векторов:

Это составит ряд вариантов для каждого из результи­ рующих векторов /,-. Чтобы сократить объем вычислении, явно не выгодные стратегии из игры исключают. При этом считается, что /-я. стратегия игрока А доминирует над его к-и стратегией, если

Мгра сводится к распределительной задаче линейного программирования и решается на ЭВМ. Получаемое ре­ шение определяет такое распределение площадей очист­ ной выемки F(Ai), при котором затраты на единицу ко­ нечной продукции минимальны. При этом обеспечи­ вается условие дополнительной добычи наименьшего количества металла из резервных блоков.

суммарных затрат, связанных с потерями за счет ожи­ дания в очереди на обслуживание потока требований, а также от простоя средств обслуживания при недоста­ точном числе клиентов.

Очередь считается замкнутой, если поток требований на обслуживание образует замкнутую систему. Напри­ мер, экскаватор на карьере с прикрепленными к нему автомашинами образуют замкнутую систему.

Если система массового обслуживания не образует замкнутой ‘очереди, она называется разомкнутой. Замк­ нутая система с весьма большим числом требований может рассматриваться как разомкнутая.

Если в любой момент времени обслуживается только одно требование (один клиент), то система называется одноканальной, если несколько-— многоканальной. При поэтапном обслуживании клиентов каналами, располо­ женными в некоторой последовательности, система мас­ сового обслуживания называется многофазовой. Приме­ ром одноканальной системы может служить одиночный пункт РКС на потоке впутрпшахтного транспорта.

220