Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 3
§3] |
|
НЕЛИНЕЙНЫЕ |
СИСТЕМЫ |
63 |
||
После интегрирования второго слагаемого по частям получаем |
||||||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
О(y) d r |
|
ц= ц(0)е |
0 |
+ “ экв - |
“ экв (°) е |
0 |
|
|
|
|
|
-т ! г(г) dr |
1 du„ |
(X)dX |
|
|
|
|
i - S . o |
|||
|
|
|
|
|
dy |
dr- |
В силу сделанных предположений о всех функциях, входящих |
||||||
в исходную систему, |
величина |
du„.. |
ограничена на любом конеч |
|||
dy |
||||||
ном интервале времени [О, |
Т] некоторым числом М , функция 0 |
|||
ограничена снизу положительпым числом Р0, поэтому |
||||
|
-■Ио |
0(y) dY |
, |
Мх |
1“ - “ЭКВэкв I <^ 1“ ^(°) е - |
“ЭКВэкв '(°)1-'I-е |
|
"Г |
до |
|
> |
|||
В результате получаем, что для любого сколь угодно малого Дt
lim и — иакв при A t ^ t ^ T .
т-*0
Это означает, что замена управления и на ks и стрем ление затем к к бесконечности эквивалентно замене уп равления и на u3KD, т. е. приводит к тем же результатам, что и метод эквивалентного управления.
Таким образом, приведенные во введении и проделан ный здесь предельные переходы для систем, нелинейных по управлению, приводят к различным результатам, в первом случае — к уравнениям, получаемым из проце дуры Филиппова, во втором — из метода эквивалентного ^правления. Это показывает, что в нелинейных по управ лению системах уравнения вне поверхности разрыва, во обще говоря, не позволяют выписать однозначно уравне ния скольжения вдоль поверхности. В связи с этим возникает задача выделения класса неидеальностей, для которого такая однозначность имеет место.
Для решения этой задачи запишем уравнения (2.21), (2.22), задающие движения исследуемой системы вне
64 |
УРАВНЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ |
[ГЛ. II |
поверхностей разрыва, в следующем виде:
х = /+ + ц* (/- — /+), |
(2.27) |
где / + и / - — непрерывные функции, а и* — некотороеновое управление *), также претерпевающее разрывы па поверхности s (х) — 0:
(2.28)
При введении в систему (2.21) неидеальиостей вместо управления и следует поставить некоторое управление й, которое обеспечивает движение в Д-окрестности поверх ности s (х) = 0. Вообще говоря, для любой функции й из этого класса может и не найтись такой функции гТ*, что системы (2.21) при и = й и (2.27) при и* — и* будут эквивалентны.
Однако, |
если неидеальности таковы, что |
функция |
й может |
принимать лишь два значения |
и+ или |
и~, то такая функция и* всегда найдется. Это означает, что для таких неидеальиостей вместо системы (2.21), (2.22) можно рассматривать систему (2.27), (2.28), в ко торую новое управление входит линейно. В результате такой искусственной линеаризации получаем систему, для которой, как это было доказано в § 2, можно восполь зоваться методом эквивалентного управления. Примене ние этого метода к системе (2.27) приводит к уравнениям скольжения, совпадающим с уравнениями (1.10), выпи санными с помощью процедуры Филиппова.
Описанный здесь способ искусственной линеаризации для неидеальиостей указанного типа не является един ственным. Однако нетрудно убедиться, что любой из этих способов всегда приводит к одним и тем же уравне ниям скольжения. Общий вид линейной по управление, системы имеет вид
х — f (х , t) + b (х, t) и*.
В этом уравнении и* уже не равно 0 или 1, а является
*) Управление и* играет роль параметра р. в процедуре Фи липпова, описанной во введении.
5 з] |
НЕЛИНЕЙНЫЕ |
СИСТЕМЫ |
G5 |
|
разрывной |
функцией |
|
|
|
|
и*+ (х, |
t) |
при s (х) |
О, |
|
Ц*~ (х, |
f) |
при s (х) |
О, |
где гг*+ и и* ~ — произвольные непрерывные функции, удовлетворяющие сформулированным в § 2 условиям. Для того чтобы записанная таким образом система была эквивалентна исходной (2.21), должны выполняться со отношения
/° + Ьи*+ = / {х, а+), /° + Ъи*~ = / (х, гг“),
или
о _ / (ж, Ц-) Ц* * — / (■?, tQ ц*- 1
, _ |
/ (ж, и*) — / (а;, ц~) |
” --- |
*_ |
Подставляя полученные значения /° и Ъ в линейную по [и* систему общего вида и применяя к ней метод эквива лентного управления, независимо от вида функций м*+ и ц*- всегда получим уравнение скольжения, совпадающее ^'уравнением (1.10), к которому приводит метод Филип пова.
Итак, если природа неидеальностей такова, что управление й может принимать при реальном скольже нии лишь одно из двух возможных значений *) и+ (х, f) или и~ {х, t), то в качестве уравнений скольжения сле дует принять уравнения, полученные методом Филип пова или же после предварительной линеаризации за счет введения нового управления и* методом эквивалентного управления.
Обратим внимание на принципиальное различие урав нений скользящего движения, которые получаются в слу чае, когда в исходную систему управление входит линей но, от того случая, когда уравнение к такому виду искус- г ственно приводится. В первом («естественном») случае 4уравнение скольжения (1.6), записанное для скалярного I управления (т = 1), не зависит от значенй и+ и и~ и в этом смысле полностью определяется непрерывными
функциями, которые входят в исходное уравнение дви-
*) Неидеальности типа гистерезис, запаздывание и неучтен ные инерционности являются частными случаями этого класса не идеальностей.
3 в. и. Уткин
66 |
УРАВНЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ |
[ГЛ. 11 |
жеиия. Во втором («искусственном») случае уравнение скользящего движения (1.10) существенно зависит от и+ и и- , т. е. от вида разрывной функции, и поэтому ничего не меняя в уравнениях, а меняя лишь величину разрыва^ можно влиять на движение в скользящем режиме. Этот факт можно наглядно интерпретировать, если восполь зоваться введенным выше (рис. 9, а) годографом. Действи тельно, в «естественном» случае, когда система линейна
по управлению х = / (х, t) + b (х, t) и, годографом слу жит прямая, и она полностью определяется векторами Ъ(х, t) и / (х, t) (рис. 10, а). Значения и+ и и~ определяют лишь точки, которые нужно взять на годографе. Поэтому прямая, соединяющая согласно методу Филиппова концы векторов / + и всегда одна и та же, не зависит от в+ и и~ (рис. 10, а) и при изменении и+ и и~ (например,
с и\, и[ на и%, Иг) вектор фазовой скорости скользящего движения /° не меняется. В «искусственном» случае век торы /+ и — / + (аналогичные / и b для «естественного» случая) уже зависят от и+ и и~, поэтому годографом яв ляется пространственная кривая и от конкретного выбора и+ и и~ зависит протекание прямой, соединяющей концы векторов / + и /- , а, следовательно, и /° —- вектора фазовой скорости в скользящем режиме (рис. 10, б).
Из приведенных рассуждений следует еще одно су щественное различие разрывных систем с линейным и не-
§ 3] |
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ |
67 |
линейным вхождением скалярного управления, |
которое |
|
в допредельном движении из-за наличия неидеальностей может принимать одно из двух возможных значений: п+ (х, t) или и~ (х, t). Для линейного случая существует некоторая непрерывная функция управления (равная ггэкв), которая, будучи подставленной в исходное уравнение, приводит к тому же движению, что и разрывное управ ление в скользящем режиме. Для нелинейного случая, вообще говоря, не существует никакого непрерывного управления, с помощью которого удалось бы получить движение, совпадающее с движением в скользящем ре жиме. Этот факт следует из того, что для непрерывного управления все векторы фазовой скорости лежат на го дографе / (х, t, и) (рис. 10, б), а в нелинейном случае вектор фазовой скорости в скользящем режиме этому годографу не принадлежит.
Для неидеальностей произвольного вида представ ляется целесообразным рассмотреть различные предель
ные переходы с точки |
зрения грубости по |
отношению |
к малым параметрам, |
характеризующим |
неучтенные |
малые запаздывания, инерционности и т. д., которые всегда имеют место в реальных системах. В общем случае реального скользящего режима в некоторой малой окрест ности поверхности разрыва е управление и может при нимать отличные от и+ (х, t) и и~ (х, t) значения, что и является причиной различных предельных результатов при стремлении е к нулю. Наличие в любых реальных системах малых, но конечных инерционностей, запазды ваний, случайных возмущений приводит к тому, что изо бражающая точка будет совершать колебания вокруг поверхности переключения с малой и тоже конечной ам плитудой А. При стремлении области е к нулю эти коле бания сохранятся, а управление гг «все чаще и чаще» _будет принимать значение гг+ или гг~, так как й может быть отлично от этих значений лишь в области е. Согласно приведенным ранее рассуждениям уравнение такого дви жения будет отличаться от уравнения (1.10), полученного методом Филиппова, на бесконечно малую порядка А *).
*) В случае, когда малый параметр является запаздыванием, этот факт может быть доказан с помощью рассуждений, приведен ных в н. 2 § 5 главы !.
3*
68 |
УРАВНЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ |
[ГЛ. II |
Высказанные здесь эвристические соображения означают, что при нелинейном вхождении скалярного управления и произвольном виде неидеальностей свойством грубости, по-видимому, будут обладать лишь те предельные пере ходы, которые приводят к уравнениям, получаемым мето~ дом Филиппова либо после предварительной линеари зации — методом эквивалентного управления. В связи с этим представляется целесообразным использовать именно эти процедуры для получения уравнений идеаль ного скольжения.
§ 4. Системы, нелинейные по управлению
Рассмотрим общий случай разрывной системы с век торным управлением, описываемой уравнениями
х = f (х, t, и), |
(2.29) |
где ж и / — n-мерные векторы, и — то-мерное управление,' каждая компонента которого претерпевает разрывы на своей поверхности, заданной уравнением st (х) = 0:
Hi (ж, |
t) |
при |
Si (X) )> 0, |
щ (х, t) = |
t) |
при |
s; (ж) <[ 0 (i = 1,..., т) |
щ (ж, |
|||
|
|
|
(2.30) |
Предположим, что на некотором интервале времени в та кой системе возникает идеальное скольжение по пересе чению поверхностей разрыва, т. е. траектория изобража ющей точки на этом интервале принадлежит любой сколь угодно малой окрестности пересечения. Задача по-преж нему состоит в том, чтобы разумно доопределить урав нения скольжения по уравнениям, заданным вне поверх ностей разрыва и по уравнениям самих поверхностей. Рассуждения метода эквивалентного управления могут быть формально применены и для этого векторного слу чая, однако он был обоснован с помощью предельного перехода лишь для систем с линейным вхождением вектор ного управления.
Рассмотрение векторного случая общего вида (2.29), (2.30) начнем с разбора примера, который показывает, что в подобного рода системах понятие скользящего режима неоднозначно в том смысле, что уравнения этого движе