Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

'для любой точки х (0) можно всегда найти такую точку х* (0) на многообразии s = 0, что будет справедливым условие (2.11). Таким образом, согласно (2.12) для лю­ бого решения уравнения (2.8), описывающего неидеальное скольжение, существует отличающееся от него на вели­ чину порядка А решение уравнения (2.9), описывающего идеальное скольжение, и на любом конечном интервале времени

зящий режим в окрестности пересечения поверхностей разрыва, и независимо от способа стремления этой окре- 'Стности к пулю решение уравнения неидеального сколь­ жения (2.8) стремится к решению уравнения (2.9), полу­ ченного в результате формального применения метода эквивалентного управления *). Этот факт согласно при­ веденным в § 1 рассуждениям и может служить обоснова­ нием правомерности использования метода для получе­ ния уравнений идеального скольжения. Мы ограничи­ лись рассмотрением лишь конечного интервала времени. Трудности, связанные с осуществлением предельного

*) Проведенным выкладкам может быть дана следующая физи­ ческая интерпретация. Реальные скользящие режимы характери­ зуются конечной частотой переключения компонент вектора управ­ ления. Векторы фазовых скоростей каждой из непрерывных систем, вообще говоря, не лежат на многообразии пересечения поверхностей разрыва. Поэтому, для того чтобы при уменьшении Д изображаю­ щая точка оставалась в окрестности (2.7), частота переключений должна возрастать. Исследуемое в теореме уравнение (2.13) описы­ вает реальный фильтр, реакция которого на внешние возмущения, начиная с некоторой частоты, уменьшается с ростом частоты (этим

возмущением служит слагаемое В (GB)~1s в (2.13), благодаря чему это уравнение и отличается от уравнения идеального скольжения (2.9)). Поэтому при предельном переходе влияние дополнительных членов, возникающих из-за учета иеидеальностей, уменьшается и на предельное движение, т. е. на идеальное скольжение они не влияют.

||*(7’) - * ee||<l-||*(0)-*eo|.

Если в момент времени Т неравенство (2.20) оказалось справед­ ливым, то с помощью аналогичных рассуждений, опять же сравни­ вая решения уравнений (2.8) и (2.9), при начальных условиях, отстоящих друг от друга не более чем на Р Д, можно показать, что

|*(2T )_ * oJ < ii*| *(0) - * o J .

Соответственно на к-м шаге (если в начале всех предыдущих шагов в моменты 0, Т, . . ., (к — 1) Т оказалось выполненным условие

I (2 .20)) имеем

|х (кТ) — ||< I .г (0) — ||.

Полученное соотношение означает, что решение системы (2.8) асим-

сходимость носит экспоненциальный характер. Решения, начинаю­ щиеся в этой области, как это следует из (2.19) и (2.20), в момент времени Т в ней же и заканчиваются. Оценим норму отклонения для такого решения, имея в виду, что неравенство (2.18) справедливо на всем интервале [0, Т]:

1*(0 —*ооII< II®* W - * Л + яд<||х* (0) - * в и + я д <

< ( 1 1 * ( 0 ) - * Л + РД М + Я Д < ( 4 г ~ Г “ д + р д ) л + ЯА -

Так как на конце рассматриваемого интервала решение по-прежне-

Р + 2Я

му принадлежит области |х — |^ ' g\ _ ~i— Ai то после первого

попадания в нее в некоторый момент времени г0 решение системы (2 .8) на бесконечном интервале времени оценивается неравенством

Таким образом, доказана экспоненциальная сходимость реше­ ния системы (2 .8) к малой окрестности положения равновесия систе­ мы (2.9), определяемой параметром Д, который характеризует ве­ личину различных неидеальностей системы.

равления:

и = - {СВ)-'С {Ах + g) + {СВ)~Ч.

Соответственно уравнение реального скольжения имеет вид

-%L = [E — B {СВу'С] А х + [ Е - В {СВУЮ] g + Б {СВ)~Ч.

at

Покажем теперь, что если любое решение уравнения иде­ ального скольжения асимптотически устойчиво, то оно будет отличаться от решения уравнения реального сколь­ жения на величину порядка А на бесконечном интервале времени, начиная с момента возникновения скользящего режима. Если ср (£) — фундаментальная нормированная матрица решений уравнения идеального скольжения при g (t) = 0 (т. е. ср (0) = Е), то общее решение этого урав­ нения имеет вид

t

„х* (£) = ср (*) х* (0) — J ф(* — х) [Е — В [СВуЧ ] g (х) dx.

О

Запишем решение уравнения реального скольжения

d

dTcp(*-T)S(CzH||M|dT.

Так как во время реального скольжения справедливо не­ равенство ||«||<;Д, начальные условия х (0) и х (0) всегда можно подобрать в соответствии с (2.7) и в силу асимптотической устойчивости уравнения идеального

56 УРАВНЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ [ГЛ. II

раничены на бесконечном интервале времени, то всегда существует такое положительное число N, что

!*(*) — ®*(0 | < ^ д

lima: (t) = х" (t) для 0 <!£<^оо.

Д->0

Обратим внимание на то, что таким свойством «близости» в общем случае системы обладают лишь на любом конеч­ ном интервале времени, в случае экспоненциальной устой­ чивости — начиная с некоторого момента времени, а для асимптотически устойчивой линейной системы с постоянны­ ми коэффициентами — с момента возникновения сколь­ зящего режима.

Необходимо отметить, что требование экспоненциаль­ ной сходимости решения системы (2.9) не носит формальный характер, а является существенным. Может оказаться, что для решения этой системы не существует мажорирующей экспоненты, хотя оно и асимптотически приближается к некоторой точке равновесия, а решение системы (2.8) или эквивалентной ей системы (2.13), которая отличается от (2.9) слагаемым В (GB)~lGs, будет стремиться к бесконеч­ ности *).

В этом и остальных случаях, например, если решение

уравнения (2.9) неустойчиво (Ншл; = оо) или устойчиво,

(—*■00

но не асимптотически, как бы близки ни были выбраны траектории двух рассматриваемых систем (2.8) и (2.9) вначале, они останутся близкими на конечном интервале времени, но в конце концов могут разойтись. Так как «ин-

1

*) Например, для уравнения первого порядка i = — - у х реше-

Н

ние х = с — (с — const) асимптотически устойчиво, но не имеет ма­

11

х= с - у -J- ~2 ~ оt стремится к бесконечности.