Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

ния не могут быть получены единственным образом из предельного перехода, возникающего при стремлении неидеальностей к нулю. В качестве такого примера рас­ смотрим динамическую систему, описываемую уравне­ ниями *)

Предположим, что оба релейных элемента, реализу­ ющих управления иг и и2, обладают одинаковыми гисте­ резисными петлями. При реальном скользящем движении вдоль поверхностей разрыва хг = 0 и хг = 0 с учетом гистерезиса управления % и и2 являются периодическими функциями с нулевой средней составляющей, а их про­ изведение — также периодическая функция, но она уже может иметь среднюю составляющую, отличную от нуля. Эта средняя составляющая может принять любое зна­ чение А от —1 до + 1 в зависимости от фазового соотно­ шения между и и2 в момент начала скользящего ре­ жима. Если теперь одновременно уменьшать гистерезис­ ные петли к нулю, то частота реального скользящего режима будет неограниченно возрастать, а предельное движение будет зависеть лишь от средних значений уп­ равлений, т. е. будет описываться уравнениями

{®i = 0,

х2 = О,

х3 = А.

Всилу неопределенности А заведомо неопределенным будет и скользящее движение.

*) Пример составлен Д. Б. Изосимовым.

Хотя могут быть сомнения в грубости этого примера, все же он указывает на возможность неоднозначности в нелинейном случае. Необходимость серьезно считаться с такой неоднозначностью выясняется из попытки непо­ средственно применить к системе (2.29) рассуждения Фи“ лшгаова *). Согласно описанной в [103] процедуре нужно выписать уравнение минимального выпуклого множест­ ва, натятутого на векторы фазовых скоростей в окрест­ ности рассматриваемой точки, лежащей на пересечении поверхностей разрыва:

2'т

всевозможные векторы управления в окрестности рассмат­ риваемой точки. Согласно Филиппову вектор скользя­ щего движения должен принадлежать этому множеству и лежать иа пересечении плоскостей, касательных к по­ верхностям разрыва, т. е. удовлетворять условию

г=1

(строки матрицы G, как и ранее, составляют градиенты функций S; (х)). Поэтому для определения этого вектора получаем систему из т уравнений (по числу поверхно­ стей разрыва) относительно 2т неизвестных коэффициен-

i=l

что, вообще говоря, эта задача не имеет однозначного решения, в то время как в линейном случае, рассмотрен­ ном в § 2, задача решалась однозначно, так как в силу линейности в качестве искомого параметра можно было

*) Разумеется, Филиппов в своей работе [103] рассуждения на системы столь общего вида не распространил.

Приведенный пример и эти общие соображения пока­ зывают, что задача определения уравнения скользящего движения для системы (2.29) может не иметь однозначного решения и что нужно ввести дополнительные ограниче­ ния для того, чтобы задача могла быть решена одно­ значно.

Предположим теперь, что правая часть уравнения (2.29) представима в виде *)

(2.29) вне поверхностей разрыва может быть представлено в виде

ТП

где /+ — вектор 2 Р(xi РЩ1), F — матрица

г= 1

II/1 (*, Р щ ) — f1(х, t, ut), •■., Г (ж, t, и „) — Г (®. t, и+т) I,

а компоненты вектора и* = (%, . . п^) равны

Таким образом, при выполнении условия (2.31) ис­ ходная система (2.29) может быть сведена к системе (2.32), _уже линейной по новому управлению и*. Как показано в § 2, для получения уравнений скольжения в таких си­ стемах можно воспользоваться методом эквивалентного управления. (Разумеется, при выполнении приведенных ранее достаточно общих предположений о виде функций

*) Необходимым и достаточным условием представимости пра­ вой части уравнения (2.29) в виде (2.31) является равенство нулю при i ф / вторых смешанных производных д2}1дщ duj.

верно описывать скольжение в исходной системе (2.29), зависит от того, окажутся ли системы (2.29) и (2.32) тождественными и при наличии неидеальностей, которые вводились в систему при обосновании этого метода. Если'" природа неидеальностей такова, что управление может

управления систем, можно обосновать эквивалентность систем (2.29) и (2.32). Для такого класса неидеальностей применение метода эквивалентного управления к системе (2.32) позволяет найти уравнения скольжения для системы (2.29). В соответствии с формальной схемой этого метода нужно определить величину s {s — по-преж­ нему m-мерный вектор с компонентами slt . . . sm)

где G — матрица размерности т X п, строки которой являются градиентами функций $г (я), и предполагается, что det GF =j= 0. Уравнение скользящего движения на­ ходится в результате подстановки нэкв в систему (2.32):

ветствии с примененным к системе (2.6) приемом этим тождеством можно воспользоваться для того, чтобы ис­ ключить т координат и выписать уравнение скользящего режима (п — т)-го порядка относительно п — т осталь­ ных координат.

В тех случаях, когда условие (2.31) не выполнено, а неидеальности в системах имеют произвольный характер, вопрос об однозначности скользящего движения остается открытым. По-видимому, могут быть указаны системы, для которых характер скользящего движения зависит

*) Примером такой неидеальности могут служить запаздыва­ ние, гистерезис, неучтенные малые инерционности.