Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

§2] СИСТЕМЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ПО УПРАВЛЕНИЮ 57

тервал близости» неограниченно расширяется при стрем­ лении А к нулю и так как во всех наблюдаемых про­ цессах А отлично от нуля (хотя и очень мало), то прихо­ диться либо согласиться с уравнениями (2.6) как с «пра­ вильными», либо вообще отказаться от написания уравне­ ний скольжения, так как таких уравнений, верных на бесконечном интервале, не существует (как и вообще урав­ нений, верно описывающих любые неустойчивые физиче­ ские процессы).

Покажем теперь, каким образом к рассматриваемой задаче может быть применена схема Филиппова, и дока­ жем, что в линейном по управлению случае результаты, к которым приводит эта схема, совпадают с уравнением (2.6), полученным методом эквивалентного управления, а значит и с результатом проделанного выше предельного перехода.

Следуя идее метода Филиппова, составим уравнение минимального выпуклого множества, натянутого на век­ торы всех фазовых скоростей, описывающих движение вблизи какой-либо точки, лежащей на пересечении по­ верхностей разрыва:

управления в разных областях фазового пространства, примыкающих к изучаемой точке.

Вектор фазовой скорости скользящего движения при­ надлежит этому множеству и лежит на пересечении каса- -тельных плоскостей к поверхностям разрыва, проведенных в рассматриваемой точке. Направление этого вектора опре­ деляется поэтому условием

G f = 0

58 УРАВНЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ [ГЛ. II

ставляя z в выражение, определяющее вектор /°, получим уравнение скользящего движения, в точности совпадаю­ щее с уравнением (2.6).

Таким образом, применительно к рассмотренному слу­ чаю линейного вхождения управления метод эквивалент­ ного управления дает стандартный способ получения ре­ зультата, к которому приводит идея рассуждений Фи­ липпова, а проделанный выше предельный переход дает обоснование правомерности получения уравнений сколь­ зящего движения в векторном случае с помощью таких рассуждений *).

З а м е ч а н и е . Разумеется, описанный метод можно

ляются непрерывными функциями, удовлетворяющими всем сформулированным в § 2 условиям, и для определе­ ния уравнений такого скользящего движения нужно, ре­ шив систему уравнений

Si = 0 (i = 1, . . ., те — к),

пайтин;Экв (£ = 1, . . . . те — к) п подставить полученные значения вместо соответствующих иг (i = 1, . . ., те — к) в исходную систему. Естественно, что такое движение будет зависеть от ит- к+1, . . ., ит — остальных компонент век­ тора управления.

*) Примером рассмотренной в атом параграфе задачи может служить описанная в работе [64] система, в которой реализуется градиентная процедура решения задачи линейного программиро­ вания, а градиент минимизируемой функции претерпевает разрывы на нескольких поверхностях в пространстве входных параметров. Применяя метод эквивалентного управления, можно получить урав­ нение скользящих движений в таких системах и обосновать сделан­ ное в работе утверждение о том, что минимизируемая функция бу­ дет убывать не только вне поверхностей разрыва, но и при движе­ нии по их пересечению в скользящем режиме.

§ 3. Нелинейные системы со скалярным управлением

Рассмотрим теперь случай, который характеризуется тем, что управление и — скаляр, но входит в правую часть уравнения уже нелинейным образом, т. е.

Управление претерпевает разрывы на некоторой поверх­ ности:

равления, можно было бы получить некоторое дифферен­ циальное уравнение, действующее вдоль поверхности раз­ рыва, которое, как и ранее, можно рассматриватькак урав­ нение идеального скольжения. Покажем, что, вообще говоря, это уравнение не совпадает с уравнением, которое получается в результате применения процедуры Филип­ пова. Этот факт легко устанавливается из геометрических соображений. Согласно методу эквивалентного управле­

сированного вектора х, принадлежащего поверхности раз­ рыва, и фиксированного момента t, считая и за скалярный

лежит на нем. Но, с другой стороны, из (2.23) следует, что этот вектор лежит в плоскости, касающейся поверхности разрыва в рассматриваемой точке х. Следовательно, для того чтобы определить вектор фазовой скорости сколь- -вящего движения по логике метода эквивалентного уп­ равления, надо из точки х провести прямую к точке, где касательная плоскость пересекает годограф (рис. 9, б). В силу же метода Филиппова для построения вектора фазовой скорости надо найти точку пересечения этой же касательной плоскости с прямой, соединяющей концы векторов f+ = f ( x , t , u +) и f~ = f (х, t, и~). Концы этих векторов сами принадлежат построенному выше годогра­ фу, и соединяющая их прямая является для него хордой

линия на рис. 9, в), то линейное вхождение управления и является единственным случаем, при котором метод эк­ вивалентного управления и процедура Филиппова при­ водят к совпадающим результатам. Для нелинейных по управлению систем вопрос о правомерности того или ино­ го доопределения вновь должен решаться с помощью пре­ дельных переходов, связанных с введением неидеальностей. Во введении было показано, что для трех видов иеидеальностей (гистерезис, запаздывание и малые инер­ ционности) и в этом нелинейном случае предельные урав­ нения совпадают с уравнениями, полученными из доопре­ деления Филиппова.

Рассмотрим теперь предельный переход иного рода и покажем, что он приводит к уравнениям метода эквива­ лентного управления. Этот предельный переход связан с I заменой разрывной функции управления на непрерывную трехзвенную характеристику с линейной средней зоной, вне которой разрывная и непрерывная функции совпа­ дают. В пределе величина средней зоны равна нулю, а коэффициент наклона характеристики — бесконечности. Такой предельный переход является, по сути дела, пред­ ложенным в [105] приемом получения уравнения сколь­ жения путем замены разрывного управления линейным

снеограниченным коэффициентом усиления.

Вработах [75, 105] рассматривались уравнения, ли­ нейные не только по и, но и по всем х. В этом случае урав­

нения, которые получаются в результате замены и на ks с последующим стремлением к к бесконечности, могут быть легко выписаны. Для уравнения общего вида приме­ нение рассуждений по такой же схеме осложнено. Однако в случае, когда функция иакв имеет ограниченные про­ изводные по всем аргументам, результат такого предель­ ного перехода может быть ползшей следующим образом.

Будем считать, что и+ )> и~. Тогда из самого факта суще­ ствования скользящего режима (согласно которому в ок­ рестности поверхности s (х) = О траектории направлены навстречу друг другу, т. е. s (и+) < 0 и s (и~) < 0) сле­ дует, что величина s убывает при изменении и от и + до и~, обращаясь в нуль при и = цвкв, а функция 0 (х, t, и) согласно (2.25) положительна и 0 (х, t, и) > 0О.

В соответствии с намеченной схемой рассуждений для нахождения уравнений движения в окрестности поверх­ ности s (х) — 0 в уравнении (2.25) следует заменить уп­ равление и на ks или, что то же, s на и/к:

При стремлении к к бесконечности, т. е. т — к нулю, решение уравнения (2.26) и (£) на конечном интервале вре­

*) Этим условием исключается из рассмотрения лишь случай, когда годограф либо касается касательной плоскости, либо подхо­ дит к пей сколь угодно близко вне непосредственной окрестности точки пересечения.