Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

претерпевает разрывы на различных поверхностях. Так как все четыре возможных вектора фазовой скорости в окрестности любой точки на нересечении плоскостей разрыва лежат па одной прямой, то минимальное выпук­ лое множество, натянутое на эти векторы, является од­ номерным многообразием. Это многообразие, вообще говоря, не имеет общих точек с (п — 2)-мерным много­ образием пересечения плоскостей разрыва, т. е. дви­ жение в скользящем режиме но этому пересечению не­ возможно.

Таким образом, если уравнение s = О, из которого находится эквивалентное управление, окажется вырож­ денным, то уравнение системы, заданное вне поверхностей разрыва, может определять скользящее движение вдоль этих границ как однозначно, так и неоднозначно и, кро­ ме того, вырождение может привести к тому, что движение в скользящем режиме вообще невозможно. Эти выводы были получены при предположении, что система стацио­ нарна и линейна по и и по х. Однако все результаты могут быть перенесены на случай нестационарной системы вида (2.32), линейной лишь по и. Для того чтобы в этой более общей задаче выделить случаи 1°, 2° и 3° соответственно, надо чтобы были выполнены те же самые условия, о ко­ торых выше шла речь, но только при формулировке этих

по управлению, нужно иметь в виду следующее

системы исключение могли составлять лежащие на пере­ сечении поверхностей разрыва множества нулевой меры по отношению к размерности этого пересечения, на ко­ торых совместность могла иметь место. В случае неста­ ционарной системы, нелинейной по х, факторы, заменя­ ющие матрицы А , В и С, сами зависят от х и t, поэтому характер вырождения может меняться во времени и про­ странстве как при изменении размерности множества

точек пересечения поверхностей разрыва, так и внутри его на подмножествах этих точек, которые уже не обяза­ тельно имеют нулевую меру. При выводе уравнений скользящего движения с помощью метода эквивалент­ ного управления специального рассмотрения заслуживают точки, лежащие на множествах нулевой меры, на которых система s = 0 становится совместной, и точки, лежащие на границе двух или более множеств ненулевой меры с различным характером вырождения этой системы. Спе­ цифика скользящих движений в этих случаях состоит в том, что из всех возможных траекторий могут иметь место лишь траектории, в первом случае принадлежащие множеству нулевой меры, а во втором случае — не на­ правленные в сторону множеств, в которых система s = 0 несовместна.

§ 6. Физический смысл эквивалентного управления

При изучении скользящих режимов это движение рассматривалось как некоторая идеализация — пред­ полагалось, что управление меняется с бесконечно боль­ шой частотой, а вектор фазовой скорости направлен точно вдоль поверхности разрыва. На практике же из-за раз­ личного рода неидеальностей изображающая точка совер­ шает колебания относительно поверхности разрыва с ко­ нечной частотой и, следовательно, частота переключения управления также конечна. К таким неидеальностям можно отнести зону нечувствительности, гистерезис, за­ паздывание в переключающих устройствах, различные инерционности, присущие объекту в неучтенные при со­ ставлении модели и т. д. В результате во время не идеа­ лизированного, а реального скользящего движения все компоненты функции управления также изменяются

сконечной частотой, поочередно принимая значения и?

ищ . Эти колебания содержат высокочастотную и мед­ ленно меняющуюся составляющие. Поэтому имеет смысл говорить о среднем значении управления в процессе ре­ ального скользящего движения (обозначим его иср). Это мср можно замерить, например, подводя истинное управ­ ление на вход фильтра, постоянная времени которого весьма мала по отношению к медленно меняющейся со­

где т — постоянная времени, й — управление, которое учитывает имеющиеся в системе неидеальности и которое, будучи подставленное в (2.39), приводит к реальному скользящему режиму (2.40). Уравнение (2.41) описывает тп инерционных звеньев, на входы которых подаются компоненты вектора й, а компоненты вектора иср явля­ ются выходными величинами этих звеньев.

Определяя величину s в силу уравнений реального скольжения

в = Gf + GBu,

находим из этого уравнения управление и:

й = —{GB)~xGf + {GB)~4.

зультате решения уравнения s = 0 относительно управ­ ления и, следовательно, величина й представима в виде

Свойства решения уравнения (2.41) с правой частью (2.42) можно выявить с помощью следующего утвержде­ ния. Пусть на некотором интервале времени [0, Г] в диф­ ференциальном уравнении

xz 4- z = h (<) + Н (t) s

*) В этом параграфе мы ввели понятие кср, воспользовавшись

представлением об усреднении сигнала в линейном фильтре. Такоспредставление дает возможность не конкретизировать учитывае­ мые неидеальности, ограничившись лишь общим условием (2.40). Если бы мы позволили себе, следуя [108, 109], конкретизировать учитываемую неидеальность и ввести в рассмотрение гистерезис или запаздывание, то можно было бы фактически подсчитать иср.

Однако такого рода рассуждения обладали бы двумя дефектами: во-первых, они не переносились бы непосредственно на векторный случай и, во-вторых, не ясно, в какой мере полученные выводы сох­ раняются при неидеальностях иного вида.

з в] ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭКВИВАЛЕНТНОГО УПРАВЛЕНИЯ 8 3

функции I h (г) ||, 1 h (t) |, I Н (t) |, |Н (t) | ограничены по модулю некоторым положительным числомМ, |s (t) | ^ Д , А 0. В этом уравнении т — const, z, h, s — m- *мерные векторы, Н (t) — квадратная матрица. Тогда для любой пары положительных чисел At и е найдется такое

Применяя это утверждение к уравнению (2.41), при условии, что и определяется в соответствии с (2.42), устанавливаем, что для конечного интервала времени [0, Т] величина иср стремится к цэкв в следующем смысле: для любой пары положительных чисел Дг <( Т и е су­

84 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III

место неравенство |« ср — цакв | в при At t ^ Т *). Аналогичным образом можно доказать, что если си­

среднего значения управления в исходной системе (2.29) его нужно представить в виде п=и+ -{-Uu*, где и1-и U— вектор и диагональная матрица соответственно с эле­

ментами щ и щ — и*, и далее тем же способом доказать,

что мср стремится к и+ -j- Uam<B.

Таким образом, используемое нами понятие «экви­ валентное управление» имеет вполне конкретный физи­ ческий смысл — эта функция равна среднему значению управления и для ее измерения можно воспользоваться линейным фильтром первого порядка, если соответству­ ющим образом согласовать постоянную времени фильтра

Г Л А В А ш

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА

§ 1. Постановка задачи, определение скользящего режима и необходимые условия его существования

В предыдущей главе рассматривалась задача получе­ ния уравнений, описывающих движение в скользящем режиме. Перейдем теперь непосредственно к решению

*) Такое определение предельного стремления нср к иакв не яв­

ляется вычурным н естественно следует из физических свойств си­ стемы. Действительно, окрестность поверхности разрыва шириной Д, в которой совершает колебания изображающая точка, нужно уменьшать для того, чтобы приблизить реальный скользящий режим к идеальному. При уменьшении Д должна возрастать частота пе­ реключений управления, так как в противном случае амплитудаколебаний изображающей точки заведомо станет больше Д. Для фильтрации высокочастотной составляющей, определяемой пере­ ключениями в скользящем режиме, величина, обратная частоте переключений, должна быть намного меньше постоянной времени т. Но, как только что было установлено, эта величина пропорцио­ нальна Д, отсюда и следует, что отношение Д/т должно стремиться

кнулю. Наконец, постоянную времени т следует также стремить

кнулю, так как линейный фильтр (2.42) не должен искажать мед­ ленную составляющую функции управления, которая и равна иср.