Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

90 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III

достаточные условия, позволяющие найти область сколь­ жения, в виде теоремы.

Те о р е м а . Для того чтобы область S (х, t), лежащая

впересечении поверхностей разрыва системы (2.2), (2.3), являлась областью скольжения, достаточно, чтобы для всех х, принадлежащих этой области, в некоторой области Q подпространства slt . . ., sm, содержащей начало коор­ динат, существовала такая непрерывно дифференцируе­ мая по всем аргументам функция v (s, х, t), для которой выполняются следующие условия'.

1. Эта функция является положительно определенной относительно s,\m. е. v (s, х, t) ~Д> 0 при s =f= 0 и произ­

отрицательна всюду, кроме поверхностей разрыва, на которых эта функция не определена, и на всей поверхности сферы | s ! = R, за исключением точек разрыва, имеет место соотношение

[|s||=R

Для функции v верхняя граница ищется для всех х из рассматриваемой области и любого t, а сама величина тан является положительной и зависит липгь от R. Если для функции v выполняется условие (3.5), то в дальней­ шем будем называть ее отрицательно определенной.

Для доказательства теоремы нам потребуется ряд соотноше­ ний, позволяющих вычислить величину и, которая для идеализи­

§ 2] ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА 91

..., к, к <( т), и сфере |s ||< Д. Хотя функция ив этой точке не опре­ делена, вычислим ее формально, выбирая значения ик+1, . . ., ит в

соответствии с (2.3) и подставляя вместо щ (i = 1, . . ., к) любое из двух значений ц* или ui :

Рассмотрим теперь функцию v иа решении допредельной систе­ мы (2.8), с помощью которой было дано определение скользящего режима. Если траектории этой системы проходят вне Д0-окрестности

поверхностей разрыва, то согласно (3.1) значения и для идеализи­ рованной системы и системы с неидеальностями совпадают. Оче­ видно, что для всех точек сферы |s |< R, за исключением До-ок­ рестностей поверхностей разрыва согласно условию 2 теоремы,

функция vдля допредельной системы не превосходит величину—mR.

где x0 — ближайшая к рассматриваемой точка на пересечении по­ верхностей s; = 0 (i = 1, . . ., к) (очевидно, что расстояние между точками х и х0 является величиной порядка Дв), О (Д0) — бесконеч­

92 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА ЕГЛ. III

но малая относительно А0 величина. Величина v (х0) оценивается неравенством (3.8), причем ее максимальное значение в рассматри­ ваемой точке х0 достигается, если соответствующим образом в за­

висимости от знаков функций Gj выбрать значения и? или а, для

и входит в функцию Ь (х0) линейно. Следовательно, г>„ также не пре­ восходит величины — m.Rl и согласно (3.9) для фиксированного R

всегда можно подобрать такое Д0, что на сфере радиуса R функция v (х) будет неположительной.

Воспользуемся этим свойством допредельной системы и пока­ жем, что при выполнении условий теоремы область S на пере­ сечении поверхностей разрыва будет областью скольжения. В соот­ ветствии с определением такой области нам предстоит убедиться в том, что для любой е-окрестности начала координат подпростран­ ства Sj, . . ., sm найдутся такие Д0 и 6-окрестность, что любое дви­ жение системы (2.8), (3.1), (3.2), начинающееся в б-окрестности, не покинет 8-окрестности.

Не нарушающая общности рассуждений, можно в качестве е- окрестности выбрать шар |5 || е, лежащий в области ^ , в которой' справедливы условия теоремы. Из первого условия следует, что ми­ нимальное значение функции v на сфере [|s |= е равно ht. Выбе­

рем теперь такой шар радиусом 6, что максимальное значение функ­ ции v внутри его равнялось /;Е(а это можно сделать, так как функция

v равна нулю при 5 = 0 , непрерывна и по условию теоремы на любой

Йе ограничена сверху). Как мы убедились, соответствующим >ром Д0 величину Ьна решениях допредельной системы можно

сделать неположительной на поверхности любой сферы конечного радиуса. Очевидно, что можио подобрать такое Д0, при котором v будет неположительной для шарового слоя, заключенного между сферами ||s ||= 6 и |s |= е. Рассмотрим теперь произвольное дви­ жение при таком значении Д0, начинающееся в области ||s ||= 6. Как только изображающая точка покинет эту область, функ­ ция v окажется невозрастающей, т. е. не будет превосходить вели­ чину ht. Но значение функции и на сфере ||5 |= е больше или

равно he.. Следовательно, для всех ж траектории изображающей точ­

ки, начинающиеся в 6-окрестности начала координат подпростран­ ства (51,..., 5т ), не могут покинуть e-окрестность. Теорема доказана.

Сформулированные таким образом достаточные усло­ вия позволяют решить вопрос о нахождении области скольжения с помощью идеализированной системы (2.2), (2.3), рассматривая ее поведение вне поверхностей разры­ ва, т. е. вне точек, в которых эта система не определена. Существенно, что при этом не приходится использовать систему (2.8), (3.1), (3.3), записанную с учетом неидеальностей, в терминах которой было дано определение обла­

§2] ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА 93

сти скользящего режима и которая не определена одно­ значно в некоторой окрестности поверхностей разрыва.

Сделаем теперь несколько кратких замечаний, каса­ ющихся условий теоремы и их проверки. В случае, если функция v является стационарной, т. е. не зависит явно от времени, а область S является ограниченной и замкну­ той, то условие (3.4) всегда справедливо. Это следует из того, что любая непрерывная функция на замкнутом мно­ жестве всегда достигает своей верхней и нижней границы, и так как функция v обращается в нуль лишь при s = О, то на сфере ненулевого радиуса нижняя граница поло­ жительна. Условие (3.4) всегда имеет место, если функция v зависит только от s. Что касается условия (3.5) для функ­ ции Ь, то даже если бы эта функция не зависела от х и t, могло бы оказаться, что на сфере |s |= R величина mR равна нулю. Причина этого явления лежит в том, что величина Ь оценивается в открытой области, так как на сфере I s I = R мы выбрасывали из рассмотрения точки, принадлежащие поверхностям разрыва. Отметим в связи с этим, что если функция v будет отрицательно определен­ ной, то lim v ф 0 при стремлении к нулю любой комби­ нации st, но не всех одновременно.

В заключение приведем два примера, которые показы­ вают, что требование непрерывной дифференцируемости является существенным для решения вопроса о возник­ новении скользящего режима. В обоих примерах функция v будет кусочно-гладкой положительно определенной от­ носительно s. Полная производная этой функции по вре­ мени будет отрицательной всюду, кроме поверхностей разрыва, и в то же время в первом случае скользящий режим на пересечении поверхностей разрыва возникнет,

аво втором — не возникнет.

Вкачестве первого примера воспользуемся рассмот­ ренной в § 1 системой с двумерным управлением, проек­ ция движения которой на плоскость sl5 s2 описывается уравнениями

Si = —sign sx + 2 sign s2, s2 = —2 sign Sj. — sign s2.

Выберем положительно определенную функцию v в виде

94 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III

Производная этой функции по обоим аргументам претер­ певает разрывы при обращении любого из них в нуль. Величина у, вычисленная в силу уравнений движения,

v = -щ - s1 + -2j~s2 = sign.?! (— sign Si + 2 sign s2) +

+ sign s2 (— 2 sign Sj — sign s2) = — 2

является отрицательной всюду, кроме поверхностей раз­ рыва, где эта функция не определена. Таким образом, функции у и у имеют разные знаки, а из рассмотрения фа­ зового портрета системы (рис. 11) следует, что система на самом деле устойчива, т. е. на пересечении поверхно­ стей разрыва возникает скользящий режим. Прежде чем судить о том, насколько эти два факта связаны между со­ бой, обратимся ко второму примеру системы с разрывным

«1 = —2 sign sx — sign s2,

s2 = — 2sign sx -Г sign s2.

Выберем в качестве функции v положительно опре­ деленную функцию

отрицательна всюду, кроме поверхностей разрыва. Одна­ ко непосредственно из рассмотрения фазового портрета системы (рис. 12) видно, что, несмотря на различие зна­ ков функций у и и, изображающая точка из любого на­ чального положения попадет на плоскость sx = 0 и по ней в скользящем режиме уходит от пересечения поверх--

щего режима вдоль поверхности s1 = 0 находится следующим об­ разом. Следуя методу эквивалентного управления, из уравнения Si = 0 находим величину sign sx и подставляем ее во второе уравне­ ние. В результате получим уравнение скольжения $2 = 2 sign s2, согласно которому величина sa всегда возрастает по модулю.