Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

вопроса о том, при каких условиях в разрывной системе возникает такой вид движения. Этот вопрос будет изу­ чаться применительно к линейной по управлению си- ; стеме (2.2), (2.3) (или аналогичной ей системе (2.32), по­ лученной в результате искусственной линеаризации) и по-прежнему будет предполагаться, что идеальный сколь­ зящий режим является предельным движением в системе (2.8) при стремлении к нулю окрестности (2.7), в которой лежат фазовые траектории реального скользящего ре­ жима. Относительно управления й, входящего в правую часть уравнения реального скольжения (2.8) и обеспечи­ вающего движение в окрестности (2.7), сделаем еще два предположения:

Оба эти предположения касаются вида неидеальностей и означают, что вне некоторой окрестности поверхностей разрыва реальное управление й совпадает с идеальным, определяемым в соответствии с (2.3), а внутри этой окрест­ ности й не превосходит крайних значений, которые может принимать управление и.

При исследовании разрывных систем с векторным уп­ равлением в главе I под идеальным скользящим режимом понималось движение, во время которого фазовые траек­ тории принадлежат любой сколь угодно малой окрест­ ности пересечения поверхностей разрыва (или одной поверхности для скалярного случая). Для выяснения усло­ вий существования скользящего режима необходимо фор­ мализовать это определение с помощью каких-либо ко- -личественных соотношений. Такая задача формализации возникает в связи с рассмотрением векторных случаев, так как для систем со скалярным управлением условия существования скользящего режима допускали нагляд­ ную геометрическую интерпретацию (рис. 5) — фазовые траектории в окрестности поверхности разрыва должны быть направлены навстречу друг другу и, следовательно, область скольжения составляли точки, в окрестности ко­ торых величины s и s имели разные знаки. Разумеется,

86 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. Ш

я в векторном случае, если на каждой из поверхностей разрыва выполняются условия существования скользя­ щего режима, будет иметь место скользящий режим и по пересечению этих поверхностей. В то же время следует-* выяснить, пе окажется ли слишком узким класс систем, в котором скользящий режим по пересечению всех поверх­ ностей разрыва возникает из-за того, что на каждой из них выполняются условия скольжения, полученные для скалярного случая. По-видимому, чаще всего вряд ли можно решить вопрос об условиях скольжения на геомет­ рическом языке, исходя лишь из взаимного расположе­ ния векторов фазовых скоростей и градиентов поверхно­ стей разрыва в окрестности их пересечения. Для подтвер­ ждения высказанного здесь сомнения приведем пример разрывной системы с двумерным управлением, в которой имеет место скользящий режим по пересечению двух по­

= —sign sx + 2 sign s2,

s2 = —2sign Sj — sign s2.

Полученные уравнения позволяют найти проекцию движения такой системы на плоскость (slt s2) (рис. 11). Непосредственно из рассмотрения фазового портрета следует, что скользящий режим на каждой из поверхно­ стей разрыва sx = 0 и s2 = 0 отсутствует. В то же время траектории изображающей точки таковы, что они попа­ дут в любую сколь угодно малую окрестность начала ко­ ординат плоскости (х1г s2) и дальнейшее движение будет

ловиями сходимости проекций фазовых траекторий на под­ пространство (sx, s2) к началу

координат этого подпростран­ ства. В связи с этим пред­ ставляется целесообразным попытаться дать определение скольжения в терминах, при­ нятых в теории устойчивости нелинейных динамических систем. Переформулируем известное определение устой­ чивости движения, данное А. М. Ляпуновым [74], при­

менительно к нашей специфической задаче, связанной с пахождением для системы (2.2), (2.3) области скользящего режима на пересечении поверхностей разрыва. Это определение дадим, опять же имея в виду, что движе­

ется областью скользящего режима (или скольжения), если:

1.Эта область не содержит целых траекторий ни одной из примыкающих к этому многообразию 2т непре­ рывных систем.

2.Для любого положительного е найдутся такие по­ ложительные величины Д0 и б, что любое движение системы (2.8), (3.1), (3.2), начинающееся в и-мерной 5-окрестности облаете S, может покинуть n-мерную е-окрестность области S только в е-окрестности ее границ.

Приведенное определение, по сути дела, выделяет такую, вообще говоря, нестационарную область значений координат системы, что внутри этой области для траек­ торий, получаемых в результате проектирования траек­

88 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III

торий общего 7г-мерного движения на пг-мерное подпро­ странство slt . . ., sm, начало координат этого подпро­ странства является точкой устойчивого равновесия в «малом». Первое же условие определения говорит о том** что траектории изображающей точки не могут лежать в многообразии пересечения поверхностей разрыва, если

жима, сформулируем и докажем необходимое условие его существования: для существования скользящего режима в какой-либо точке пересечения поверхностей разрыва необходимо, чтобы уравнение метода эквивалентного управления, составленное для системы (2.2), (2.3),

s — Gf + GBu3KB — О

имело решение относительно u0KD (напомним, что G — . матрица размерности т X п, строками которой являются градиенты компонент st вектора s) и каждая из компонент эквивалентного управления удовлетворяла условию

Первое условие уже было доказано в § 5 главы I , посвя­ щенном различным вырожденным случаям, которые воз­ никают, если det GB — 0. Примерно по той же схеме проведем обоснование и второго условия (3.3). Согласно определению скользящего режима вопрос о его существо­ вании решается с помощью допредельной системы (2.8) с управлением (3.1), (3.2). Предположим, что хотя бы одно из условий (3.3) нарушено, но тем не менее скользя­ щий режим в рассматриваемой точке хь существует. Так как величина s равна нулю лишь при и — иакв, а реаль­ ное управление й, изменяющееся в соответствии с (3.1), (3.2), при нашем предположении никогда не равно итз, ' то вектор s будет отличен от нуля:

s = G (/ -f- Ви) 0.

Интегрируя это соотношение на интервале At, получаем

второго порядка.

торой конечной величины, пропорциональной At. Такой вывод противоречит определению скользящего режима, согласно которому можно так подобрать допредельную систему, что ее фазовые траектории будут проходить в любой сколь угодно малой окрестности многообразия пересечения. Сам факт появления противоречия указывает на то, что предположение о возможности существования скользящего режима при нарушении условий (3.3) яв­ ляется неверным, и следовательно, эти условия являются необходимыми.

§ 2. Применение второго метода Ляпунова для определения области скользящего режима

Как мы только что выяснили, задача об определении области скольжения сводится к специфической задаче об устойчивости нелинейной системы. Так же, как это обычно делается в теории устойчивости, попытаемся найти достаточные условия того, что некоторая область S в пространстве состояний системы (2.2), (2.3), лежащая на пересечении поверхностей разрыва, является областью скольжения в смысле данного в § 1 определения. Необ­ ходимость специального рассмотрения этой задачи обус­ ловлена фактом разрывности правой части идеализиро­ ванной системы (2.2), (2.3) или же фактом, неопределен­ ности реального управления в системе (2.8), записанной с учетом неидеальностей в некоторой окрестности поверх­ ностей разрыва (3.1), (3.2).’ Вторая особенность заклю­ чается в том, что устойчивость нужно обеспечить не для всего движения, а лишь для его проекции на подпро­ странство sl5 . . ., sm и может оказаться, что для одной области общего пространства хг, . . ., хп эти проекции