Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 3
S2] ПРИМЕНЕНИЙ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА &5
скользящий режим на этом пересечении не возникает. В нашем примере фазовые траектории пересекают по верхности равного уровня (v = const) снаружи внутрь везде, кроме «угловых точек», но траектории скользящего режима «выходят вдоль угловых точек» из этих поверх ностей. В первом примере скользящего режима по одной
Рис. 12.
из поверхностей разрыва не возникало, т. е. множество точек на траекториях, которые находились на «углах» поверхностей v = const, составляло нулевую меру. Именно поэтому различие в знаках у функций г; и и по зволило сделать вывод об устойчивости начала координат на плоскости н1? з2. В общем же случае, как показал вто рой пример, с помощью одних лишь знаков кусочно гладкой функции и ее производной нельзя решить вопрос о существовании скользящего режима.
Итак, мы рассмотрели общие условия, которым дол жна удовлетворять функция, аналогичная функции Ляпу нова, с помощью которой можно определить область скольжения. Существенно, что этот вопрос решается на основе анализа поведения идеализированной системы вне поверхностей разрыва, хотя определение самого факта возникновения скольжения дается с помощью допредель ной системы, точно так же, как в главе I метод эквивалент ного управления позволял найти уравнения скольжения, используя лишь уравнения идеализированной системы.
96 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА 1ГЛ. III
Разумеется, описанный здесь метод, как и метод функций Ляпунова, не дает конкретных рецептов, как составлять функцию v для той или иной разрывной системы. Поэтому в последующих параграфах мы рассмотрим те случаи, когда удается найти функцию v, удовлетворяющую сфор-- мулированным в теореме условиям.
§ 3. Определение области скольжения с помощью квадратичных форм
По-прежнему рассматривается |
динамическая система |
с разрывными управлениями (2.2), |
(2.3), а задача состоит |
в определении области скольжения на пересечении по верхностей разрыва. Запишем уравнения, описывающие проекцию движения системы на m-мерное пространство, по осям которого отложены величиныslf . . ., sm, характе
ризующие расстояния |
до |
поверхностей |
разрыва: |
||
s = G (х) / |
(я, |
t) + |
G (х) В (х , |
t) и, |
(3.10) |
где G — матрица размерности |
т X п, строками |
которой |
|||
являются градиенты функций sx (х), . . ., |
sm (х), |
векторы |
|||
х, f, и и матрица В определяют движение системы в со ответствии с (2.2), (2.3).
Вектор управлениям представим в следующей форме *):
|
|
|
и = и0 + |
U sign s , |
|
(3-11) |
|||
где и0 = |
-у- (u+ -j- и~), |
и+и и~ — векторы-столбцы с элемен |
|||||||
тами {и\,. .., Мт)и(1/7, |
. • |
|
ит~), U — m-мерная диагона |
||||||
льная матрица с элементами £/* = |
2t |
; sign s—m-мер- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
st опреде |
|
ный вектор с элементами sign .<?*, функция sign |
|||||||||
лена всюду, |
кроме st = 0, |
и равна + 1 |
при S j)> 0 и —1 |
||||||
при ^ < |
0. |
В сответствии |
с |
этими |
обозначениями пере |
||||
пишем |
систему |
(3.10): |
|
|
|
|
|
||
|
|
s |
= D |
(х, t) sign s + |
d (x, |
t), |
(3.12) |
||
где матрица D (x, t) и вектор d, (x, t) равны соответственно
*) Такое представление для систем с переменной структурой со скалярным управлением в [19] было названо квазпрелейным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ |
97 |
GBU и GJ + GBu°. В дальнейшем при исследовании во проса о возникновении скользящего режима вместо си стемы (3.10) мы будем использовать эквивалентную ей систему (3.12). При этом нужно иметь в виду, что при замене идеального управления (2.3) на реальное (3.1), (3.2) в системе (3.11) компоненты вектора sign s в Дцокрестности соответствующей поверхности разрыва сле-
и .-и ?
дует заменить на величину — — . Так как эти компоненты
не превосходят по модулю единицы, то для них, так же как и для компонент вектора и, справедливы условия (3.1), (3.2). Все предложенные в настоящей главе методы исследования скользящих движений правомерны для систем с неидеальностями именно такого типа, поэтому их можно применить и для системы (3.12).
В этом параграфе выделяются случаи, когда область скольжения S на пересечении т поверхностей разрыва можно найти путем составления функции v в виде квадра тичной формы относительно slt . . ., sm как с постоянны ми, так и с зависящими от т и t коэффициентами.
1. Квадратичные формы с постоянными коэффициен
тами. Составим функцию v в виде положительно |
опре |
деленной квадратичной формы |
|
v = , ^ - s TWs, |
(3.13) |
где W — симметричная матрица с постоянными коэф фициентами, которая удовлетворяет критерию Сильве стра, Т — символ транспонирования. Так как функция v не зависит явно от х и t, то для нее выполняется первое условие теоремы в § 2. Определим производную этой функции по времени на решении системы (3.12) во всех точках, за исключением поверхностей разрыва:
v = — sTL sign s -ф- sT l, |
(3.14) |
где L = — WD, l = Wd. Матрица L и вектор |
l зависят |
от x и t. Если бы удалось найти такую область значений для элементов L и I, для которых функция v является отрицательно определенной в указанном во втором усло вии теоремы смысле, то затем следовало бы найти соот
ветствующую |
этим значениям область значений вектора |
х или, что то |
же, область скольжения. |
4 В. И. Уткин
98 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III
Покажем теперь, что неравенства
|
111 |
|
hk |
2 I I + I h I |
(3.15) |
|
i=i |
|
|
i*^/c |
|
являются необходимыми и достаточными условиями того, что функция Ь с постоянными коэффициентами в L и I является отрицательно определенной. В (3.15) lhl — элементы к-й строки матрицы L, lh — к-я компонента вектора I. Достаточность становится очевидной, если функцию v представить в виде
тп . т
Ь = — 2 К |
I [ h * + 2 lk i s ig H V i— гк si§n «*)• |
k=i |
i=l |
|
i+ lc |
При выполнении неравенств (3.15) выражения в скобках в каждом слагаемом положительны, а следова тельно, функция v отрицательна. Верхняя граница функ ции v на всей сфере |s | = R, за исключением поверхно стей разрыва, равна
|
|
sup v = — тн = |
— 1 s I А1Т, |
|
|
|
|||
|
* |
ММ* |
|
|
|
|
ai* |
1 |
|
где |
|
|
число |
из |
всех |
— |
|||
Air — минимальное |
А1ц = |
|
|||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2 |
I ^A-i I |
— 1^а-I (fc = |
1,- ■ w), |
и |
достигается, |
если |
|||
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limjsrl = |
||.sj|, )im s£= 0 |
(i = 1 ,..., |
m, i=j=r), sign |
sr= |
sign lr, |
||||
sign |
Si = —sign lTlTi (i |
— 1, |
. . ., |
m, i=j=r). (Напомним, что |
|||||
верхняя граница здесь не достигается, так как функция v на поверхностях разрыва s£ = 0 не определена и мы рас сматриваем открытую область на сфере.)
Если хотя бы в одном из неравенств (3.15) заменить знак неравенства на обратный или знак равенства, то
величина Air будет либо отрицательной, либо равной нулю. Соответственно верхняя граница функции Ь ока жется неотрицательной, что и доказывает необходимость условий (3.15) для отрицательной определенности этой функции.
§ 3] |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ |
99 |
В производной функции v по времени матрица L и вектор I зависят от х и t. Поэтому для нее условия отри цательной определенности выделяют такую, вообще го воря, нестационарную область S значений х , для которой при любом t выполняются неравенства
т
inf |
у. I hi (я, W,t)\ — |
xeS, ie[o, со) |
£ |
|
- \ l k( x , W , t ) \ ) > M k> 0 , (3.16) |
где Aik — const, |
к = |
1, . . ., m. |
Для области |
S на |
множестве точек сферы |s |= R, |
за исключением поверхностей разрыва, верхняя граница функции v не превосходит величины
sup v = — |[s||Aln |
(3.17) |
1И=я |
|
где Alr — минимальное из всех А1к число, т. е. в области S выполняется второе условие теоремы в § 2. Это означает, что область S , для которой выполняются условия (3.16), будет областью скольжения на пересечении поверхностей разрыва. Обратим внимание на то, что интересующие нас точки лежат на многообразии s(- = 0 (i — 1, . . ., т), поэтому при нахождении области скольжения из условий (3.16) нужно предварительно выразить какие-либо т координат вектора х через остальные п — т *) и подста вить полученные значения в левые части неравенств (3.16) . Что касается матрицы W, то ее можно выбирать произвольно, лишь бы все ее диагональные определители согласно критерию Сильвестра были положительны.
Приведем пример использования описанного подхода для определения области скольжения в линейной по х и и системе с разрывным трехмерным управлением, опи сываемой уравнениями
х = А х + Ви
В этом уравнении х — п-мерный вектор, А и В — посто янные матрицы размерности п X п и n X 3, каждая из
*) В § 2 главы I отмечалось, что для рассматриваемой разрыв ной системы это всегда можно сделать.
4*
ЮО УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III
компонент управления |
имеет |
вид |
|
щ = sign si |
(i |
= 1, |
2, 3). |
В качестве поверхностей разрыва выберем плоскости, т. е. вектор s равен
s — Сх,
где С — постоянная матрица размерности 3 X п, и сле довательно, для рассматриваемой системы матрица гра диентов равна С. В этом случае элементы, определяющие уравнение (3.12), имеют вид
и0 = О, U = Е, d = САх.
Предположим, что коэффициенты матрицы D , равной СВ, принимают следующие числовые значения:
( - 2 |
2 |
- I X |
D = \ |
0 - 3 |
4 . |
\1 0 - 2 /
Имея в виду симметричность матрицы W н вычисляя мат рицу L и вектор I в соответствии с (3.14), запишем для пашей системы неравенства (3.16), определяющие об ласть скольжения:
2шц — п-1з^> |— 2шп -j- 3М’12 | |хоп — 4мц2"1" 2мц3|-\-
+ | (я> W) |i
— 2\0Yi "l- Зм>22 |2м.’jo — Юо3 I -{- I Wyi — 4m?22 -j- 2m?23 I “b
+ l № W0I,
U>1 3 — 4м;2з -|- 2xv33 |2гм13 — гм331+ |— 2мц3 + Зм>231-(-
+ \ h ( x , W ) \ .
Элементы lx (х, W), (х, W ), /3 (.г, W) являются линей ными комбинациями координат системы с коэффициентами, зависящими от матриц САх и W. Записанные неравенства при численных значениях элементов матрицы W
wlx = 1, wv, = 0, w13 — —0,5,
ю22 = 1, ю23 = 1,5, w33 = 13,5