Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

106 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III

матрица D постоянной или же зависит от времени t и вектора состояний х. Это важное свойство (а важность его очевидна в связи с тем, что даже в стационарной си­ стеме (2.2) матрица D может оказаться переменной, так как она зависит от х) сформулируем в виде теоремы прн-Т" менительно к разрывной системы (3.12).

Т е о р е м а . Если для некоторой области S значе­ ний вектора х на пересечении поверхностей разрыва и при любом t найдутся такие матрицы W (х, t), L (х , t) и век­ тор I (х, t), что L = — WD и l= W d , и при этом выпол­ няются условия:

1)W = W T, все диагональные определители этой мат­ рицы положительны и для них существуют верхняя и нижняя границы,

2)для элементов матрицы L и вектора I справедливы условия (3.16),

3)норма полной производной от матрицы W по вре­ мени ограничена некоторым числом М, то рассматри­ ваемая область будет областью скольжения.

Приведем доказательство этой теоремы. Из первого условия

1 т

следует, что для квадратичной формы v = -тр s W (х, г) s выпол­

няется неравенство (3.4) из теоремы о существовании скользящего режима, приведенной в § 2. Второе условие означает, что функция

1>0= — sTL sign s + sTl является отрицательно определенной на поверхности любой сферы радиуса ||s | н ее верхняя грапица сог­ ласно (ЗЛ7) равна

v = — v0 + sT Ws.

В соответствии с третьим условием и соотношением (3.23) за­ пишем оценку для верхней границы функции vAна сфере радиуса

Так как первое слагаемое пропорционально ||s ||, а второе — |s ||2, то всегда найдется такая окрестность начала координат $•= О, внутри которой на любой сфере верхняя граница функции v будет строго отрицательной. Это означает, что независимо от скорости изменения матрицы W выполняется п второе условие (3.5) из тео­ ремы в § 2, следовательно, рассматриваемая область S является областью скольжения.

Основной результат доказанной теоремы заключается

вследующем: если область S является областью

скольжения для фиксированных значений матрицы D и вектора d из некоторого диапазона и этот факт обос­ новывается с помощью функции v в виде квадратичной формы, коэффициенты которой зависят от D и d, то об­ ласть S останется областью скольжения и при произволь­ ном изменении элементов D и d в рассматриваемом диапа­

зоне (лишь бы величина |W \была ограниченной). Этот вывод, по сути дела, обосновывает применимость так на­ зываемого «метода замороженных коэффициентов» для определения области скольжения в разрывных системах

спомощью квадратичных форм.

Всвязи с этим можно просто переформулировать ре­ зультаты относительно области скольжения в системе (3.19), если вектор d (х , t) = 0, матрица D является сим­ метричной, но уже зависит от г и г, а не постоянна, как это предполагалось ранее. Область S значений х, для которой все диагональные определители матрицы —Z?-1 положительны, имеют верхнюю и нижнюю границы и величина |] D~11] ограничена, является областью сколь­ жения. В случае, если вектор d (х, t) отличен от нуля, область скольжения по-прежнему выделяется неравенст­ вами (3.22).

Что касается системы, для которой диагональные эле­ менты в матрице/? являются преобладающими в соответ­ ствии с (3.20), то для нее нет необходимости применять доказанную здесь теорему, так как матрица W была вы­

брана постоянной и равной единичной (т. е. W — 0). В связи с этим нужно лишь переписать неравенства (3.21), выделяющие область скольжения S, с учетом перемен­ ности матрицы D (х, t):

т

inf ( - dkk (х, t) — 2 I dki (x, t) |- |dk (:X, t) I) > 0. (3.24) ii=1

Отметим, наконец, еще один подкласс матриц D (х, t), для которых задача о нахождении области скольжения может быть решена с помощью квадратичных форм. Вновь обратимся к системе (3.12) и предположим, что существу­ ет такая диагональная матрица А (ж, t), для которой в

108 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА 1ГЛ. III

некоторой области S на пересечении поверхностей раз­ рыва выполняются соотношения

где %i (x , t) — элементы матрицы A (x , t), lk — элементы век-

тора —D~1d (x , i) и квадратичная форма v = ----^■sT {D'Y1 s

удовлетворяет условиям (3.4). При выполнении этих ус­ ловий область S является областью скольжения.

Это утверждение позволяет найти область скольжения, если матрица D (х , t) в (3.12) не является симметричной, но может быть сделана таковой в результате умножения на диагональную матрицу с положительными элементами. Для доказательства рассмотрим поведение системы в под­ пространстве, характеризуемом вектором s*, который связан с исходным вектором s невырожденным преобра­ зованием

s* = А (х , г) s.

Так как в области А справедливо условие inf \{х, г )> 0 , <е[о,оо)

то из факта существования скользящего режима в этой области в подпространстве s* следует его существование

условию теоремы в § 2, а этот случай мы уже разбирали

где 1'с — элементы вектора I*, который определяется со­ отношением

I* = - (Дй + As) = l — {D*)~1As.

Покажем, что и эти условия следуют из (3.25). Так как величины )] |] и |Л |ограничены, то |I — L* | ^у|| s |], где у — некоторое положительное число. Это озна­ чает, что достаточно малой окрестности пересечения по­ верхностей разрыва векторы / и I* близки и, следователь­ но, верхняя оценка компоиент вектора I* также не пре­ восходит единицы. Утверждение доказано.

Рассмотрим в качестве примера применения описанного метода «искусственной симметризации» систему произ­ вольного порядка с двумерным управлением, движение которой в подпространстве (s^ s2) описывается уравне­ ниями

ложительными диагональными элементами в виде

/1 <ь

А (*, 0 = ( о du

Матрица D* (х, t), равная Л (х, t), D (х, t), будет симмет­ ричной:

d-ц di2

и следовательно, область значений х, где верхняя и ниж­ няя границы функций —dn (х, t) и —(dal (х, t) d22 (х, t) —

— d12 (х, t) d21 (x, t)) строго положительны, а функция

v — -----| -sT(D*)_1s является положительно определенной,

будет областью скольжения. В области, где хотя бы одна из этих функций поменяет знак, как это уже отмечалось выше, скользящий режим заведомо отсутствует.

НО УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА ГГЛ. Ш

§4. Системы с иерархией управлений

Вэтом параграфе мы рассмотрим системы с векторным разрывным управлением, для которых задача об опреде­ лении области скольжения распадается на отдельные ска-- "

вие записано в виде неравенств (3.20), (3.21) или (3.24)). Для систем с таким свойством скользящий режим всегда возникает на каждой из поверхностей разрыва.

Рассмотрим теперь иной подход к решению задачи о скольжении, который также сводится к последовательному анализу отдельных скалярных случаев, по при этом сколь­ зящий режим не обязательно возникает на каждой из поверхностей разрыва в отдельности.

Пусть система, для которой нужно определить область скольжения, по-прежнему описывается уравнениями (2.2), (2.3). Предположим, что на пересечении каких-

такого скользящего движения можно получить с помощью

и затем подставить полученные значения в исходную

совпадает с исходной системой (2.2). Запишем для систе­ мы (3.27) условия возникновения скользящего режима на поверхности sm = 0, считая, что на этой поверхности претерпевает разрывы компонента щ-+1, а по пересече­ нию к поверхностей s, = 0 (i = 1, . •., к) скольжение имеет место. Согласно приведенным во введении уело-