Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

Для выбранных знамений wi} можно выписать коэф­ фициенты линейных форм 1г, l2, Z3, которые равны нулю при х = 0. Очевидно, что в пространстве хг, . . ., хп найдется область, содержащая начало координат, в ко­ торой неравенства (3.18) справедливы. Так как все диа­ гональные определители матрицы

1 0 — г “

0 1

—0,5 1,5 1

положительны, то множество точек этой области, лежа­ щих на пересечении поверхностей скольжения, и является областью скольжения. При нахождении области сколь­ жения мы подобрали коэффициенты матрицы W, при ко­ торых функции v и v оказались соответственно положи­ тельно определенной и отрицательно определенной. Разу­ меется, это решение не является единственным и в связи с этим представляет интерес рассмотреть задачи, которые мы лишь сформулируем: из всех возможных постоянных матриц подобрать такую матрицу W, чтобы область, вну­ три которой заведомо возникал скользящий режим, была максимальной; здесь же отметим, что все области сколь­ жения, найденные для различных матриц W , также со­ ставят область скольжения и вторая более общая задача состоит в определении множества таких матриц W и для каждой из них такого множества х на пересечении по­ верхностей разрыва, что функции v u v будут иметь" раз­ ные знаки и затем в нахождении области скольжения как _суммы всех таких множеств х. Конечно, эти задачи можно решать лишь в случае, когда существует хотя бы одно решение, и теперь мы обсудим вопрос о существо­ вании такого решения, или вопрос о границах примениftгости предлагаемого приема для простейшей разрывной системы, описываемой в подпространстве бц, . . ., уравнениями

102 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III

Рассмотрим сначала случай, когда d (х , t) — 0. Для линейных систем с постоянными параметрами разработан стандартный прием составления функций Ляпунова, ко­ торые позволяют судить об их устройчивости (как мы выяснили, задача об условиях существования скользя-- щего режима весьма близка по своей сути к проблеме устойчивости). Этот прием состоит в том, что сначала вы­ бирается знакопостоянная функция v и затем по ней вос­ станавливается функция v. Если функция v имеет знак, противоположный с и, то система устойчива, если знаки могут совпадать — неустойчива [9]. К сожалению, такой подход при исследовании областей скольжения в рассмат­ риваемых нами разрывных системах может оказаться неприменимым.

В качестве примера, иллюстрирующего этот факт, об­ ратимся к системе

«1 = —sign + 2 sign s2,

s2 = —2 sign sx — sign s2,

для которой в § 1 с помощью фазовой плоскости (рис. 11) было показано, что на пересечении поверхностей разрыва Sj = 0 , s2 = 0 скользящий режим всегда существует. Убедимся теперь, что какова бы ни была постоянная мат-

рица W, производная от квадратичной формы v = — sT Ws

(s — двумерный вектор с компонентами Sj и s2, W — сим­ метричная матрица с элементами W;j, г, / = 1, 2) в силу уравнений движения v = —sTL sign s не может быть от­ рицательно определенной. Коэффициенты матрицы L , равной — WD, должны удовлетворять соотношениям (3.15), которые для нашего примера имеют вид

Первое неравенство не может иметь место при wl2 ^ <1 0, так как при wn <( 0 его левая часть отрицательна, а при wn 0 левая часть меньше wn , а правая больше 2шп . Аналогично доказывается, что при и>12 > 0 всегда нарушается второе неравенство. Следовательно, вопрос

§ з] Оп р е д е л е н и е о б л а с т и с к о л ь ж е н и я 1о§

0 существовании скользящего режима в этом частном случае не может быть решен с помощью функции v в виде квадратичной формы.

В общем же случае разрывной системы с постоянной матрицей D вопрос о возможности использования квадра­ тичных форм, столь широко применяемых при исследо­ вании устойчивости линейных систем, сводится к нахож­ дению класса матриц D, для которых существуют такие матрицы W и L, что L = —DW , матрица W — симмет­ ричная, а в матрице L диагональные элементы превосхо­ дят сумму модулей элементов соответствующей строки. Приведем два случая систем, когда эта задача может быть решена.

Пусть в матрице D каждый из диагональных элементов отрицателен и по модулю превосходит сумму модулей

Тогда матрицу W выберем равной единичной и, оче­ видно, что для матрицы L, равной —Z?, будут выполнены условия (3.15) (компоненты lh вектора I при d = 0 также равны нулю). Следовательно, все пересечение поверхно­ стей разрыва является областью скольжения. Заметим, что этот случай довольно очевидный и легко объясняется исходя из условий возникновения скользящего режима для систем со скалярным управлением. В окрестности к-й поверхности разрыва при выполнении условия (3.20)

104 УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА [ГЛ. III

рассматриваемого случая (W = Е) имеют вид

Предположим теперь, что матрица D является сим­ метричной и для нее существует обратная матрица D~l, которая также будет симметричной. Выберем для этого случая симметричную матрицу коэффициентов W в квадра-

тичной форме v = - 2~sTWs, равную—D~1. Тогда матрица L,

определяющая производнук/функции v в виде—sT Lsign, s, согласно (3.14) равна единичной] матрице, и следовательно, v будет отрицательно определенной функцией. Это озна­ чает, что если матрица —D симметричная и удовлетворяет критерию Сильвестра, т. е. квадратичная форма v будет" положительно определенной *), то на многообразии пересечения поверхностей разрыва всегда возникает дви­ жение в скользящем режиме. Если же функция v окажется знакопеременной, то в любой точке этого пересечения скользящий режим заведомо не возникает. Действитель­ но, в любой окрестности начала координат подпростран­ ства slt . . ., s найдется точка, в которой знаки v и v совпадут, величина v по модулю будет возрастать и изо­ бражающая точка покинет окрестность пересечения по­ верхностей разрыва. (Этот факт можно обосновать строго, следуя приведенным для доказательства теоремы § 2 рассуждениям.) Таким образом, если матрица D в (3.19) симметричная, то выполнение неравенств критерия Силь­ вестра для матрицы —D является достаточным условием существования скользящего режима. Если исключить

утверждений о том, что если матрица — D является симметричной и удовлетворяет критерию Сильвестра, то обратная матрица так же обладает этими свойствами.

В заключение рассмотрим задачу о нахождении области скольжения для системы (3.18), если матрица —D сим­ метричная и удовлетворяет критерию Сильвестра, а век­ тор d отличен от пуля и зависит от х и t. По-прежнему выберем функцию v в виде положительно определенной

квадратичной формы -j sTWs, W = —Л-1, а производная

этой функции в силу системы (3.19) будет равна

Условия (3.16), согласно которым эта функция будет определенно отрицательной, выделяют область скольже­ ния S:

sup |lk (х, t) | 1 (к — 1 , . . т). (3.22)

xes fe[o,°o]

Разумеется, эти условия будут лишь достаточными и не позволяют судить о существовании скольжения вне об­ ласти, выделяемой неравенствами (3.22).

2. Квадратичные формы с коэффициентами, завися­ щими от вектора состояний и времени. При рассмотре­ нии разрывных систем с постоянной матрицей в уравне­ нии (3.19) мы показали, что для симметричной матрицы вопрос об области скольжения решается на основе под­ хода, разработанного в теории устойчивости линейных систем с постоянными параметрами. Идея этого подхода состоит в том, что сначала выбирается отрицательно опре­ деленная функция v и затем по ней восстанавливается сама функция v. Знак полученной таким образом функции v, зависящей от параметров системы, и решал вопрос об устойчивости. Такой способ неприемлем для исследования устойчивости линейных систем с переменными парамет­ рами, так как функция v должна быть нестационарной. Ее производная доллша содержать частные производные по времени, и в этом случае задача восстановления коэф­ фициентов функции v уже не сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Принципиальное отличие разрывных систем состоит в том, что метод восстановления функции v в виде ква­ дратичной формы по выбранной отрицательно определен­ ной функции v применим независимо от того, является ли