Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

152 УСТОЙЧИВОСТЬ В [.СИСТЕМАХ [УПРАВЛЕНИЯ £ГЛ. VI

нений (6.4) (например, с помощью метода припасования), Сформулируем и докажем необходимые условия по­ падания для системы (5.1), если все матрицы A t являются невырожденными и характеристическое уравнение'- ка$? дой линейной структуры не имеет кратных корней.

Т е о р е м а . Для попадания изображающей точки на плоскость переключения необходимо, чтобы для каждой структуры собственные векторы, соответствующие поло­

кую область в пространстве хх, . . ., хп, в которой дви­ жение системы описывается уравнениями этой структуры.

Докажем теорему методом от противного. Предположим, что характеристическое уравнение одной из структур (6.4) имеет дей, ствительный корень X и соответствующий этому корню собственны;- вектор w с компонентами wi, . . ., wn принадлежит области опреде ления этой структуры. Так как эта область определяется знаками

(wi фО (£ =1,. . . , k), так как в противном случае одна из поверх­ ностей Х{ — 0 (г = 1, к) содержала бы целые траектории, если б0 = 0.) Пусть вектор начальных условий совпадает с вектором иДр

+ Aip1660 и |ш|| бо, тогда движение в системе будет определяться соотношением

начальных условиях величины ад и s знака не [сменят, т. е. структу­ ра системы останется неизменной на бесконечном интервале вре­ мени и при этом l i m s = o o . Это означает, что попадание в системе,

t—>СХ>

не будет иметь места.

Если же нарушается второе условие теоремы, т. е. точка равно­ весия какой-либо структуры находится в ее области определения,

ю при начальных услошшх, совпадающих с этой точкой, система будет находиться в покое и попадание также не будет иметь места.

Таким образом, при нарушении условий теоремы удается найти начальные условия, при которых не происходит попадания изо­ бражающей точки на плоскость s = 0. Это и доказывает необхо­ димость сформулированных в теореме условий, так как под усло­ виями попадания подразумеваются условия, при выполнении кото­ рых изображающая точка попадает на плоскость переключения из любого начального положения.

Покажем, что при выполнении сформулированных здесь необходимых условий попадания в системе либо произойдет изменение ее структуры, либо изображающая точка попадет на плоскость скольжения.

Если все корни характеристического уравнения ка­ кой-либо структуры имеют отрицательные действитель­ ные части, то все траектории стягиваются к точке равно­ весия, которая по условию теоремы не лежит в области определения данной структуры, и поэтому произойдет из­ менение структуры системы *). Если же помимо корней с от­ рицательной действительной частью имеются комплексные горни с положительной или нулевой вещественной частью, у)величины x t и s являются функциями знакопеременным г, следовательно, структура системы изменится. И, на­ конец, если среди корней имеются корни с положитель­ ной действительной частью, но соответствующие им соб­ ственные векторы не лежат в области определения рас­ сматриваемой структуры, то траектории изображающей точки будут приближаться к этому собственному векто­ ру **) и, следовательно, структура системы также изме­ нится.

Таким образом, если при выполнении необходимых условий попадание не имеет места, то изображающая

тура системы не может оставаться неизменной.

Вопрос о том, являются ли необходимые условия од­ новременно и достаточными, остается открытым. Автору йеизвестны ни доказательство достаточности, ни примеры,

*) Сделанное ранее предположение о том, что все матрицы A i являются невырожденным, исключает появление нулевых корней.

**) Исключение составляют лишь случаи, когда действитель­ ная часть комплексных! корней превосходит действительные поло­ жительные корни, но для таких случаев, как мы только что отметили, структура системы также должна измениться.

в которых при выполнении необходимых условий попа­ дание не имело бы места.

З а м е ч а н и е . Покажем, что необходимые условия попада­ ния, о которых говорится в сформулированной выше теореме, ляются одновременно и достаточными для системы второго порядка. Перепишем уравнения (II.V), (5.1), (5.6) для случая п — 2, к =

в скользящем режиме было устойчивым и на прямой s = 0 всегда существовал скользящий режим *):

(cTb) a )> cTax — ci (cTa~),

(cTb) 3 > cTal — ci (cTa2).

Пусть для каждой из двух линейных структур (при Чг = а жав при Y = 3) собственные векторы положительных действительны! корней характеристического уравнения (если такие корни суще­ ствуют) не лежат в области ее определения. Докажем, что в этом! случае изображающая точка из любого начального положения всег-‘ да попадает на прямую s = 0. ■

Не нарушая общности рассуждений, можно рассмотреть лишь случай s (t0) > 0. При движении системы до момента попадания величина s положительна и структура системы может меняться лишь

хх = 0 скорость £х всегда совпадает по знаку с а12**), и поэтому структура системы при s > 0 может измениться не более одного раза.

Рассмотрим движение в системе, соответствующее какой-либо одной фиксированной структуре.

*) Обратим внимание на то, что выписанное здесь условие скользящего режима в отличие от_, (5.8) имеет вид строгих нера­ венств и в управлении отсутствует релейная компонета 6и, кото­ рая обеспечивала возникновение скользящего режима в начале ко­

ординат, где Yxi = 0 и при би = 0 равна нулю величина s. Если же, а и В выбраны таким образом, что попадание всегда имеет место, то необходимость в компоненте 6и отпадает, так как при малых откло­ нениях от прямой переключения в начале координат изображающая точка либо за конечное время попадет на эту прямую и по ней вер­ нется в начало координат, либо будет приближаться к началу коор­ динат асимптотически.

**) Если а12 = 0, то прямая хх = 0 содержит целую траекторию, а этот случай мы исключили из рассмотрения.

156 УСТОЙЧИВОСТЬ [В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI

Для доказательства теоремы рассмотрим первую производную от функции 5 по времени. После дифференцирования функции s, замены производных от координат системы их значениями из урав­

n—1

+^ [ ^ — сг (с7®71)] я-Ч— (cT6) 6U. (6.9) i=fc+l

Пусть в начальный момент времени величина s положительна (общность рассуждений при атом сохраняется). Из условий суще­ ствования плоскостей скольжения (5.8), (5.9), неравенства (6.8) и (5.6) следует, что при s > 0 правая часть в (6.9) отрицательна, или, что то же, функция s убывает. Так как скорость убывания s мень­

ше — (стЬ) 60, то эта величина при некотором гх станет равной пулы и изображающая точка попадет на плоскость скольжения.

Покажем теперь, что если в управлении (5.6) релей­ ная компонента Su отсутствует (а в таких системах, как отмечалось в § 2, плоскость скольжения также может су­ ществовать), неравенство (6.8) по-прежнему является до­ статочным условием попадания. При 6„ = 0 и выполне­ нии условий скольжения функция а уже не является строго отрицательной, а лишь неположительной. Для таких

имеет место попадание, так как при этом выполняется одно из условий (6.2) или (6.3). Рассмотрим теперь случай R 0, воспользовавшись уравнениями движения (5.24), эквивалентными уравнениям (5.1). Так как s стремится

к постоянной величине, то lim s — 0. Имея в виду, что ре* t—+СО

шение ураввения s = 0 относительно и при s = 0 равно иЭКВ, из последнего уравнения системы (5.24) получаем

lim и = Пэкв — (стЬ)-1 (стап) R.

t—*oо

Врезультате подстановки предельного значения и в пер­ вые (п — 1) уравнения системы (5.24) находим уравнение