Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 3
198 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX
в силу исходной системы, затем полученными уравнения ми заменить в ней два последних уравнения и, наконец, во всех четырех уравнениях заменить хв и xt, выраженные через xlt х2, sx и s2. После этих преобразований получим
X1 *Г2)
|
h = ~2~Si + -^2— |
+ 73a;i |
2iii “h 3u2, |
|
||
|
i 2 = _ |
Sl + |
s2 _ 15 V i9 x i - / 1 9 u2. |
|||
Нетрудно убедиться в том, что при и = Г (я711)' |
(напомним, |
|||||
что |
Г — вектор-столбец |
с компонентами — 14 и —15, а |
||||
(хт)' |
— хг) |
система |
уравнений |
относительно |
sx и s2 не |
|
зависит от |
и х2, |
а ее характеристическое |
уравнение |
|||
имеет корни Х3 и Я,4. В полученной системе матрица Н' (т. е. двумерный вектор-столбец, элементами которого являются коэффициенты перед хх, равным (хт )' в уравне ниях для sx и s2) имеет вид
73
Н ~~ - 1 5 / 1 9 ’
а матрица Н" (двумерный вектор-столбец, состоящий из коэффициентов перед х2, равным (хт)"), как и должно следовать из процедуры синтеза, равна нулю. Выберем компоненты вектора управления в виде воздействия по координате х1с коэффициентами, претерпевающими разры вы на плоскостях sx = 0 и s2 = 0:
Ui — — Т цЖ! — S0i sign Si, |
u2 = |
^ai^i -f S02 sign s2*), |
|||||
_ | au |
при |
^ > 0 |
, |
_ |
{ aai |
ПРИ |
ж15г > ° » |
11 " b n |
при |
XiS! < |
0, |
21 |
l Psi |
при |
З д < 0 . |
В уравнение для s2входит только компонента и2, претерпе вающая разрывы на плоскости s2 = 0, поэтому для нахож дения условий скольжения в этом скалярном случае
*) Необходимость введения малого релейного сигнала обосно вывалась в § 1,
8 2] |
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 199 |
можно воспользоваться неравенствами (1.9). В окрестно сти пересечения = 0 и s2 = 0 скользящий режим всегда возникнет на плоскости х2, если
аг1 > —15 и р21 < —15.
Для определения уравнений движения в скользящем ре
жиме по плоскости s2 = |
0 нужно из уравнения s2 |
=> О |
найти эквивалентное управление и2Э1(В и подставить |
его |
|
в остальные уравнения. |
На многообразии sx = 0, s2 => О |
|
получим м2Экв = — i 5x lt |
и соответственно уравнение |
для |
запишется следующим |
образом: |
|
= |
28^ + |
|
Воспользовавшись условиями (1.9) для этого скалярного случая, получаем условие возникновения скользящего режима в любой точке плоскости sx = 0, лежащей на пе ресечении sx = 0, s2 = 0:
« и |
14, |
Рц < |
14. |
Выбирая, например, |
аХ1 = |
15, |
Рп = — 15, а21 = 20- |
Р21 = — 20, получаем, что на всем пересечении обеих по верхностей выполняются условия существования скользя щего режима, т. е. это пересечение является многообра зием скольжения.
Как следует из приведенной в этом параграфе процеду ры синтеза, движение в скользящем режиме определяет ся корнями ^ = —1 и %2 = —2, и следовательно, это движение устойчиво. К такому выводу можно также прий ти, если обратиться к первым двум уравнениям системы дифференциальных уравнений относительно xlt х2, sv s2, если s2 принять равным нулю (а это условие в скользящем
режиме справедливо). |
Необходимо отметить, что поведе |
|
ние координат х3 и |
также определяется корнями |
и |
%2, так как во время скользящего режима (т. е. при sx = |
0, |
|
s2 = 0) они являются линейными комбинациями х1 и х2. З а м е ч а н и е . Процедура синтеза предполагала, что в результате т шагов вместо координат хл_,п+1, . . ., хп оказалось возможным ввести новые координатах!, . . ., sm. Однако может оказаться, что координаты хп- т+1, . .., хл не удастся исключить. Например, на каждом шаге последний коэффициент в соответствующем собственном
200 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX
векторе равен нулю, тогда координата хп не может быть выражена через какую-либо компоненту вектора s и ос тавшиеся неисключенными к этому шагу компоненты вектора х. Однако, как уже отмечалось ранее, на каждом шаге какие-либо одну или две координаты вектора х можно заменить новыми координатами, которые являются компонентами вектора s. Если в результате т шагов уда лось исключить не жп_т+1, . . ., хп, а какие-либо другиет координат из набора х,.+1, . . хп (т. е. не входящих в со став вектора (ж"1)'), то описанный здесь метод синтеза также применим — нужно перенумеровать координаты хг+1,. . .
. . . , хп, присвоив номера с п — то + 1 по га исключенным координатам, и переписать полученные ранее условия существования многообразия скольжения в соответствии с новой нумерацией.
Рассмотрим теперь случаи, когда приходится вводить
новые |
координаты |
из |
набора |
slt . . |
sm вместо каких- |
либо |
компонент |
х1, |
. . ., хТ |
вектора |
(хт)'. В таких |
случаях исключенные |
координаты, например, ж,._Г'+1, . .. |
||||
. . ., хг*) являются линейными комбинациями только ком понент вектора s и оставшихся компонент хг, . . хг~Г' вектора (хт )'. Действительно, если бы в какую-либо из этих линейных комбинаций вошла хотя бы одна из коор динат хг+1, . . ., х п, то ее можно было бы выразить через компоненты векторов s и х и исключить из рассмотрения
вместо какой-либо из координат Хг_г<+1, . . ., |
хг. Это оз |
начает, что линейное управление и — Г (хт )', |
с помощью |
которого находились уравнения плоскостей |
разрыва, |
представимо в виде |
|
и — r ss -j- 1 (xr) , |
|
где Г, и Г, — некоторые постоянные матрицы, размерно сти то X то и тох г — г', (хТ)' — (г — г')-мерныйвектор с
компонентами хг, ..., |
хг_Г'. |
|
Запишем аналогичные (9.17) уравнения движения си |
||
стемы |
|
|
хт = А тхт+ |
+ Б'и, |
|
s = |
|
(9.17а) |
Нхт+ СВи. |
||
*) Очевидно, можно так пронумеровать компоненты x l t . . х г |
||
вектора (хт)', что исключенные г' |
координат окажутся в нем по |
|
следними. |
|
|
§ 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 201
Вектор хт в (9.17а) состоит из п — т компонент вектора х, в том числе ху, . . Хг-Т-, в него не входят координаты хг_г'+1, . . хт, а элементы всех матриц вычисляются по той же процедуре, что и элементы в уравнениях (9.17).
Так как при и = Г (хт )' или и — r ss -j- Гг (хТ)' пос леднее уравнение в (9.17а) совпадает с уравнением для вектора s в (9.19), то
Al = 4 + CBTS, Нх™ = - СВТт{х*у,
8 — Ass -f- СВ [и — Гг {хг)*\.
Выбирая компоненты вектора и в виде суммы воздейст вий по координатам xt, . . ., хт>с разрывными коэффици ентами, с помощью любого из описанного в § 1 приемов, выбранное многообразие s = 0 можно сделать многообра зием скольжения. (Роль матрицы Н' будет играть матри ца СВТГ, а матрица Я" равна нулю.)
Убедимся теперь, что движение в скользящем режиме вдоль многообразия s = 0 устойчиво. В рассматриваемой системе мВ1Ш. вычисленное при условии s = 0, и линейное управление и = Г,5 + Гг (хг)' отличаются слагаемым Га5. В результате подстановки этих двух линейных управле ний в (9.17а) убеждаемся, что характеристические урав нения полученных таким образом линейных систем имеют п — тп одинаковых корней, а отличаться будут m корней, являющихся собственными числами соответственно мат
риц A s и А\* Управление и |
= Г (хт )' выбиралось таким |
образом, чтобы совпадающие п — т корней имели отри |
|
цательные вещественные |
части, поэтому согласно при |
веденной выше теореме движение по многообразию s = 0 устойчиво.
Таким образом, если, осуществляя процедуру выбора плоскостей разрыва при переходе от пространства х к пространству (хт , s), пришлось исключить координаты, входящие в состав управления Г (хт )г, то для выполне ния условий существования многообразия скольжения с устойчивым движением эти же координаты можно ис ключить из вектора управления.
Остался неразобранным лишь случай, когда г' = г и уравнение относительно вектора s имеет вид
£ = ^4s + СВи.