Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 3
202 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX
Очевидно, что в этом случае многообразие s = 0 будет целиком состоять из фазовых траекторий исходной систе мы, если управление в нем принять равным нулю. В силу единственности решения такой линейной системы изоб ражающая точка из произвольного начального положе ния не может попасть на многообразие s = 0*). Тем не
менее |
изображающую |
точку можно «заставить» попасть |
||
и |
двигаться |
вдоль него за счет создания скользящего |
||
режима. |
|
|
||
|
Как следует из § 1, вид функции управления, ре |
|||
шающего эту |
задачу, зависит от размерности матрицы |
|||
Н '. |
В |
нашем |
случае |
Н' = 0, и поэтому многообразие |
s = |
0 |
можно |
сделать |
многообразие скольжения, если |
каждая компонента вектора и содержит воздействие хотя бы по одной из координат вектора х с разрывным коэффи циентом.
§ 3. Устойчивость в системах с многообразием скольжения
При исследовании вопроса об устойчивости движения системы, описываемой уравнением (9.1), будем считать, что пересечение поверхностей разрыва (Ш ЛИ ) является многообразием скольжения и движение в скользящем режиме устойчиво. Тогда вопрос об устойчивости при произвольных начальных условиях сводится к опреде лению условий попадания изображающей точки на это многообразие из любого начального положения.
Отметим сначала, что если каждая компонента управ ления в (9.1) является суммой воздействий по различным координатам с кусочно-постоянными коэффициентами, то для такой системы можно воспользоваться приведен ными в£§ 2 главы VI необходимыми условиями попа дания.
Согласно этим условиям для каждой структуры собст венные векторы, соответствующие положительным дейст вительным корням ее характеристического уравнения, не должны лежать в области определения рассматриваемой
структуры. Доказательство |
этого |
утверждения, |
прове |
*) За исключением, быть |
может, |
случаев, когда |
П т х = 0. |
t - + o o
5 3] УСТОЙЧИВОСТЬ 203
денное для систем со скалярным управлением, сохраняет ся и для векторных случаев.
Для того чтобы получить достаточные условия попа дания, рассмотрим движение системы в пространстве
3xi •••j sm.
s — САх + СВи.
В случае, если применяется первый вариант метода диагоналиэации, это уравнение согласно (9.3) перепи шется в виде
а ■= САх + Q u \ |
(9.21) |
Сформируем управление и* с использованием воздействий по всем координатам *):
|
|
|
|
(9-22) |
ау |
при |
^ > |
0 , |
j=i |
|
||||
Т у = |
при |
XjSi < |
0 |
(i = 1,..., m; j = 1,..., п). |
Ру |
Имея в виду, что матрица Q является диагональной, из (9.17) и (9.22) получаем условия, при которых величи ны Si и Si во всем пространстве будут иметь разные знаки:
} (9.23)
QtaH < (i = 1, ..., m; j = 1,..., n)
где ci и a? — соответственно строки и столбцы матриц С и А. При выполнении условий (9.23) изображающая точ ка либо попадает на каждую из плоскостей sit а следова тельно, и на их пересечение, либо стремится к ним асимп тотически, что означает устойчивость системы.
Второй вариант метода диагонализации приводит к
уравнениям |
(9.24) |
s* = Вх + Qu, |
|
где R — матрица размерности т хп , |
равная Q (СВУ1 СА, |
с элементами rtj. Для попадания в системе (9.24) нужно выбрать управление и выполнить условия, аналогичные
*) Так же как и для управления (5.4), в этом случае нет необ ходимости вводить в управление релейную составляющую 6и.
204 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX
(9.22) и (9.23): |
|
П |
(9.25) |
Щ= — 2 V1V;> |
|
1=1 |
|
- |
015 |
при |
xjSi |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
1Ри при |
XjS* < |
0 |
(i = |
1,..., т; j = 1,,..., n), |
|
|
|
|
|
|
* ij) |
1 |
|
|
|
(ZiPti < |
|
(9.26) |
|
|
|
|
rij- J |
|||
И, наконец, составим управление в виде (9.22) или (9.25) для систем, в которых задача синтеза решается на основе использования квадратичных форм. Для первого вари анта этого метода вводится новое управление, а для вто рого — новые плоскости разрыва в соответствии с ли нейными преобразованиями
и = {СB y 1Du',
s* — D (CB)~h,
где D — симметричная матрица, удовлетворяющая кри терию Сильвестра. Запишем для этих случаев уравнения движения в подпространстве s для первого случая, когда управление выбирается в соответствии с (9.22), и в под пространстве s* для второго случая с управлением (9.25)
s = |
САх — Du° — DU sign s, |
s* = |
(9.27) |
D {CB)~1 CAx - Du° — DU sign s*, |
где компоненты вектора гг0 и диагональной матрицы U оп ределяются аналогичными (9.12) соотношениями
|
|
“ii+pii |
_ |
|
|
|
|
j'=i |
2 |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(i = 1,..., |
|
|
J74= |
2 - |
2 |
>x . |
т). |
|
|
\ x ) |
|
|||||
|
?=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Производные |
от положительно определенной |
функ- |
||||
ции v, равной 1 |
sTD~1s в первом случае и 1 |
s*TZ)_V — во |
||||
втором, в силу соответствующей системы из (9.27) |
имеют |
|||||
§ 3] УСТОЙЧИВОСТЬ 205
|
вид |
п |
. |
|
т |
||
|
й = sTR'x |
|
|
V |
i=l S'=1 |
' |
|
m |
n |
|
|
|
|
||
|
ъ = 8 ~ г я х - 2 ( 2 3 L _ i i L | a;.|)|S; j ) |
||
|
i=i |
j=i |
|
где R' и Я' — матрицы размерности т X п с элементами r[j и r'ij, равные соответственно D~XCA — U° и (СВ)~1х X СА — U0, U0— матрица размерности т X п с элементами
U\j = ij |
. Очевидно, что функция v будет отрица |
тельно определенной не только на многообразиях s = 0 mras* = 0, как это имело место в системах с управления ми (9.5) и (9.9) при выполнении условий (9.14) или (9.15), а во всем пространстве (хг, . . ., хп), если
gij |
Pij |
|
—2-----> Ы |
|
|
или |
|
, (9.28) |
”” |
о — >\гц\, |
(i = 1,.... т; j = 1,..., п). |
Условия (9.28) являются достаточными условиями устой чивости движения в подпространстве s или s*, а следова тельно, и условиями попадания.
Рассмотрим условия, при которых попадание будет иметь место, если компоненты управления формируются
ввиде воздействий не по всем, а лишь по г координатам
всоответствии с (9.5) или (9.9). Пусть пересечение поверх ностей разрыва по-прежнему является многообразием скольжения, т. е. в зависимости от метода синтеза выпол няются условия (9.6), (9.10), (9.14) или (9.15). Для ре шения вопроса о попадании обратимся к уравнению (9.17), описывающему поведение системы в подпространстве s. Описанные в § 1 методы, которые позволяют обеспечить существование многообразия скольжения, основываются на двух вариантах линейных преобразований. Первый вариант связан с введением нового управления it>* в соот ветствии с некоторым линейным преобразованием и = Ки*, второй — предполагает введение новых поверхностей раз
206 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ СГЛ. IX
рыва s* = Qs. После таких замен уравнения движения в под пространстве s или s* , по осям которого отложены расстоя ния до плоскостей разрыва, запишутся следующим образом:
s = |
^ Ss + Н хт+ СВКи* |
или |
(9.29) |
s' = |
Q AsQ 'V -f- QHxm-f- QCBu. |
Матрицы линейных преобразований К или й выбирались таким образом, чтобы матрицы перед управлениями в урав нениях (9.29) оказались диагональными или симметрич ными и удовлетворяющими критерию Сильвестра.
Если использовался метод диагонализации (т. е. матри цы СВК или QCB являлись диагональными), то при выполнении условий (9.6) или (9.10) величины st и вг (или
Si и в,) имели разные знаки |
в окрестности многообразия |
|
s = 0 (mras* = |
0), т. е. s = |
0 (roras* = 0) оказывалось |
многоообразием |
скольжения. Очевидно, что в случае, ког |
|
да матрица A s (или подобная ей матрица = Й.4вй -1) также является диагональной и ее элементы действитель
ны и отрицательны, величины s; и аг (или Si и в<) будут иметь разные знаки уже во всем подпространстве s (roras*),
и следовательно, для таких матриц А , (или А ,) попадание будет иметь место.
Если же используется метод синтеза, основанный на составлении функции Ляпунова в виде квадратичной формы, то матрицы К или й подбирались таким образом,
чтобы матрицы СВК или й СВ оказались равными/) |
— не |
|||||
которой симметричной матрице, удовлетворяющей |
крите |
|||||
рию Сильвестра. |
Как было показано в § 1, при |
выпол |
||||
нении |
условий |
(9.14) |
или (9.15) квадратичная |
форма |
||
v = у sTD -1s |
(или v = |
у s*7D~1s*) и ее производная по вре |
||||
мени |
имели |
разные |
знаки в окрестности многообразия |
|||
s = 0 (roras* |
= |
0), |
т. е. оно оказывалось многообразием |
|||
скольжения. Нетрудно убедиться в том, что в случае,
когда матрица A s (или Л 8) равна — D, |
то функция v и |
|
ее производная по времени будут |
иметь |
разные знаки |
во всем подпространстве s (или s*), |
т. е. движение в этом |
|
подпространстве устойчиво «в большом» и, следовательно, для таких матриц Лj (или А]) попадание будет иметь место.