Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

i 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 193

Нетрудно убедиться в том, что все коэффициенты этой си­ стемы действительны, а корни ее характеристического уравнения равны ^n_! и Я„. Векторы Cm-i и с^, как собст­ венные векторы матрицы А *, соответствующие различ­ ным собственным числам, линейно независимы. Это оз­ начает, что линейно независимыми будут также и векторы

и ст, а поэтому из уравнений для sm_x и sm можно вы­ разить какие-либо две координаты, например, хп- г и хп через координаты х1} . . ., x'n_2, составляющие вектор х2, и новые координаты sm и sm. Подставляя в первые уравнения системы (9.18) вычисленные таким образом значения хп- х и хп и заменив последние два уравнения дифференциальными уравнениями для sm_x и sm, получим уравнения, описывающие поведение системы (9.18) в про­ странстве хх, . . ., х „-3 £,„-!, sm:

где a I — матрица размерности (n — 2) X (n — 2), a™ 1 яГ — (я — 2)-мерные векторы-столбцы. После одного из таких невырожденных преобразований координат собственные

числа матрицы А х окажутся равными %х, . . Кп-1: а мат­

рицы А 2 — . . ., %п- 2 -

г Далее в системе дифференциальных уравнений относи­ тельно вектора х1 (или х2) координату sm (или координаты и sm) будем считать входным воздействием. В этих си­ стемах произведем замену переменных и получим еще одно (или два в случае комплексных корней) уравнение, кото­ рое не зависит от оставшихся координат вектора х. Про­ делав соответствующее число таких преобразований, в ко­ торых «будут использованы» все корни Яп_т+1, . . ., Я„

7 В. И. У ткин

194 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

и заменив координаты яп_т+1, . . х п, новыми координа­ тами slt . . ., sm*), полупим уравнения, описывающие по­ ведение системы (9.18) в пространстве координат хх, ...

.. .,х п- т, Sj, . . ., вт или сокращенно в пространстве (хт, s)\

= Атхт-f- A^s,

(9.19)

s = 4 8s,

где Am, 4 KS, Л8 — матрицы размерности (п — т) X (п —- т),

Вектор $ равен Сх, а строки матрицы С размерности т х п с действительными коэффициентами вычисляются на каж­ дом шаге описанной выше процедуры. На каждом шаге преобразование координат является невырожденным, по­ этому является невырожденной матрица

п-т | Е °

чС С"

п-т т

которая переводит вектор х в вектор (х s). Из этого сле­ дует, что det С" Ф 0 и матрица (С")-1 существует.

После того, как мы описали свойства системы (9.18), выберем плоскости st = 0 (i = 1, . . ., т) в качестве по­ верхностей, на которых претерпевают разрывы компонен­ ты вектора управления и в системе (9.1). Поведение этой системы в пространстве (хт, s) описывается уравнениями (9.17). Отметим, что при выбранном векторе s эти уравне­ ния всегда правомерны, так как матрица (С")-1 существу­ ет. Предположим, что на многообразии s = 0 возникнет скользящий режим. Тогда согласно доказанной в этом па­ раграфе теореме это движение устойчиво, если при и = u3J&, в характеристическом уравнении системы, кроме т кор­ ней, совпадающих с собственными значениями матрицы A s,

*) Было показано, что на каждом шаге замена какой-либо одной или двух компонент вектора х новыми координатами из на­ бора . . ., sm всегда возможна. Будем рассматривать случаи, когда в результате всех шагов оказались исключенными коор­ динаты хп_т+1, . . . . хп.

196 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

к вычислению коэффициентов уравнения плоскостей разры­ ва согласно описанной выше пошаговой процедуре, и, нако­ нец, к определению разрывных коэффициентов управле­ ния, компоненты которого составлены из тех же коорди­ нат, что и вектор Г (ят )'.

Проиллюстрируем описанный метод нахождения управления, который обеспечивает существование многооб­ разия скольжения с устойчивым движением на примере системы четвертого порядка с двумерным управлением, описываемой уравнениями

системы имеет два корня с отрицательными действитель­ ными частями. Непосредственной проверкой можно убе­ диться, что для — — 14 х1 и щ = — 15 хх (т. е. (хт)' = = хх) это условие выполнено, так как корни характери­

Следующий шаг состоит в определении уравнений плоско­ стей разрыва. Так как корни Х3 и Я,4 являются комплекс­

i 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 197

статочно решить одно из этих уравнений, например, отно-

(Как и следовало ожидать, полученные значения q 3 и q 4 удовлетворяют и первому уравнению.)

Соответствующие корням К3 и Х4 новые координаты q и s2 (или sm_x и 5т ) определяются из соотношений

Векторы q и с2 являются сопряженными, поэтому уравне­ ния поверхностей разрыва имеют вид

q —— Зба:4 — Ъх2—|—Зх3 -1—2.т4,

s2 = — 2 / 1 9 ^ - 3 /1 9 а ;2 - /Т 9а;3,

а координаты а:3 и а:4, которые мы заменяем новыми пере­ менными q и q , являются линейными комбинациями а:х,

а:2, q , q :

Для получения уравнений движения относительно коор­ динат а:!, а:2, q , q нужно продифференцировать q и q