Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

5 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 189

ходимым условием. Действительно, при нарушении этого условия, как это следует из (9.2), можно так выбрать ком­ поненты вектора х, лежащего на многообразии s = О,

как в выбранной таким образом точке величина s также отлична от нуля, то проходящая через нее фазовая траекто­ рия не лежит в многообразии s — 0, и следовательно, движение в скользящем режиме невозможно *).

Во всех методах, рассмотренных в настоящем парагра­ фе, поверхности разрыва, а следовательно, и уравнения скольжения не могут быть выбраны произвольно. Огра­ ничения накладываются условиями существования много­ образия скольжения (9.6), (9.10), (9.14) или (9.15), кото­ рые зависят от коэффициентов уравнений поверхностей разрыва (III. III). (Исключение составляет лишь случай, когда г -■ п — т и ограничения типа равенств отсутст­ вуют.) В связи с этим далее мы в § 2 рассмотрим вопрос об устойчивости движения по многообразию скольжения.

Итак, мы воспользовались всеми предложенными в гла­ ве IV подходами к решению задачи синтеза, за исключе­ нием метода иерархии управления. Как уже отмечалось в разделе I для реализации этого метода в отличие от уже рассмотренных не требуется знания точных значений элементов матрицы СВ. Это обстоятельство оказывается весьма существенным для построения систем управления нестационарными объектами. Поэтому далее в § 4 отдель­ но будут рассмотрены специфические особенности приме­ нения этого метода применительно к системам управления с постоянными параметрами, а затем в § 5 будет приведено обобщение на объекты с изменигощимися параметрами.

§ 2. Условия устойчивости скользящих движений

Выясним, при каких условиях для системы (9.1) дви­ жение по многообразию скольжения (III. III), описывае­ мое уравнениями (III. IV) при F (t) = 0, является устой­ чивым. При решении этого вопроса будем следовать схеме

190 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

рассуждений, которые позволили получить условие устой­

п — т уравнений системы (9.1) и выражение для ё, вы­ численное в соответствии с (9.2):

следует воспользоваться для доказательства сформулиро­ ванной далее теоремы, на основании которой и решается вопрос об устойчивости движения по многообразию скольжения в системе (9.1).

Т е о р е м а . Для асимптотической устойчивости дви­ жения системы (9.1) в скользящем режиме по многообразию з = 0 (Ш Л И ) необходимо и достаточно, чтобы в харак­ теристическом уравнении системы (9.1) при и — иЭКВ) вычисленном при условии s = 0, все корни, кроме корней, совпадающих с собственными числами матрицы A s, имели отрицательные действительные части.

Мы не приводим доказательства этой теоремы, так' как оно полностью совпадает с доказательством аналогич­ ной теоремы, сформулированной и доказанной в § 3 главы V для систем со скалярным управлением.

Воспользуемся приведенной здесь теоремой для постро­ ения системы с переменной структурой, в которой мно­ гообразие пересечения плоскостей разрыва является мно­ гообразием скольжения, а движение в скользящем режи­ ме вдоль этого многообразия устойчиво.

вектора (ят )' с разрывными коэффициентами, и не будем пока уточнять, по какому закону осуществляется пере­ ключение этих коэффициентов *). Покажем, что в этом случае можно обеспечить существование многообразия скольжения s = 0 размерности п — т о устойчивым дви­ жением, если найдется такое линейное управление и =

= Г (хт )' (Г — постоянная матрица размерности т X г с элементами уу), при котором характеристическое уравне­ ние системы (9.1) имеет п — т корней A,lt . . ., кп- т с отрицательными действительными частями. Остальные т корней Я„_т+1, . . ., %п могут быть произвольными, бу­ дем лишь предполагать, что если в эту группу входит какой-либо комплексный корень, то в нее входит и сопря­

собственными числами матрицы А *.

Рассмотрим порознь два случая, когда Хп является действительным числом и когда А,п_г и — комплексные сопряженные корни. В первом случае введем в рассмотре­ ние новую координату sm:

sm = стх

и подберем вектор-строку ст с элементами ст1, . . ., стп таким образом, чтобы поведение координаты sm описыва­ лось уравнением

*) Представляют интерес лишь случаи, когда управление со­ ставлено из воздействий по г координатам и г < п — т. Для слу­ чая, когда г = п — т (очевидно, и для г > п — т) в условиях существования многообразия скольжения (9.6), (9.10), (9.14) или (9.15) отсутствуют условия типа равенств, т. е. при любой матрице С за счет соответствующего выбора осу и Ру эти условия можно вы­ полнить. Это означает, что уравнения скольжения (III. IV) при F = 0, зависящие от С, вообще говоря, можно наделить любыми свойствами, в том числе и устойчивостью.

192 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

Для этого вектор ст должен удовлетворять уравнению

сщА ^псто = О-

Так как Хп является действительным собственным числом^ матрицы Л*, то у этого уравнения найдется действитель­ ное нетривиальное решение. Предположим, что стп ф 0. Тогда, выразив координату хп через sm и координаты х1? . . ., xn_lt которые составляют вектор х1, можно полу­

в результате замены последнего уравнения из системы (9.18) уравнением для sm и исключения из первых (п — 1) уравнения координаты хп, являющейся линейной комби­

а'я-мерные векторы-строки Cm-i и ст являются решениями уравнений

собственными числами матрицы А *, то у этих уравнений существуют нетривиальные решения, которые также будут комплексными и сопряженными, и следовательно, векторы ст _х и ст будут действительными. После диффе­ ренцирования smи sm_i и соответствующих преобразований получим систему из двух дифференциальных уравнений