Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МЕТОД ИЕРАРХИИ УПРАВЛЕНИЙ

2 1 1

Эти уравнения можно получить с помощью той же после­ довательности действий, которые позволили найти урав­ нения скольжения по пересечению всех поверхностей разрыва (III. IV). Для этого нужно решить систему

Si = 0, st = 0 (i = 1,. . к) относительно и, (i = 1 ,.. ., к), zn_A+1, . . ., хп, подставить полученные значения в пер­ вые п — к уравнений системы (9.1) и отбросить оставшие­ ся к уравнений *). В результате получим следующую систему уравнений:

хк — Акх* + Вкик,

(9.31)

где хк и ик — (/г — к)- и (т — &)-мерные векторы-столбцы с элементами соответственно (х1г . . ., хп- к) и (ufe+1, . . .

■••I ^77»)•

А к = А к — A n -к {С к) 1 С к —

— В к { С кВ к + С к В к ) - ' [С к ( А к — А п-к {С к У 1 С к ) +

 

+ С " к ( А ' к - A n M C l r 1 С к) 1,

В к ~ В т -к — В к {С к В к + С к В к Г 1 (С к В т-к + С к В т^ к ),

п-к | ■^к ; А п_к

п

\ н

Ак

; А п„к

* {

 

п-к

к

Tl-fc | В к ; Вт-к

Вк |Вт—к

• {

1

к

т -к

п -к

к

Ск — матрица размерности кХп

со строками с* (г = 1 ,...

. . ., к).

 

*) Эти операции можно проделать, если перенумеровать ком­ поненты векторов к и п соответствии с правилом, приведенным в

§ 5 главы IV.

212 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

Если к = т,

то Вк - В',

В'т_к =

0, Вк = 0, В"т_к = О,

Ск =

С ,

Ск =

С"

и система

(9.31)

совпадает с системой

(III.

IV)

при F =

0.

 

 

Выберем каждую компоненту управления в виде сумр мы воздействий по гг компонентам вектора (а^, , . ., хп) так, чтобы гг > Гу при i < / и г{ ^ в — i:

где

и

 

Ч

 

(i =

1 , ..., т),

(9.32)

щ

= : — 2

— Ь ы

 

3=1

 

 

 

 

 

( СЩ при

а ?# > 0 ,

Г

би

при

«1 > 0,

aS,

при

X jS i < ^ 0 , ш

1 — 6qi

при

«*< 0 ,

at], Piy, б0г — постоянные величины.

Предположим, что на пересечении st = 0(i = 1, . . ., к] 1 к < т) возник скользящий режим, описываемый уравнениями (9.31). Выясним, при каких условиях после попадания на плоскость ай+1 = 0 в результате движения по этому пересечению скользящий режим возникает на пересечении st — 0 (i = 1, . . ., /с) и $й+1 = 0 . Определе­ ние этих условий является скалярной задачей, которая сводится к выполнению условий (1.9) для системы (9.31)

на плоскости sh+1 = 0.

Уравнение плоскости sb+1 — 0 на

многообразии s t =

0 (1 ^

i

^ к), вдоль которого действу­

ет система (9.31), имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sft+i =

 

= 0,

 

 

(9.33)

где

ск+1 — вектор-строка

с

элементами

ck+lti

(i = 1, . . .

...,

п — к),

определяемый из соотношений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ск+1 — ск+1 {Ск) 1 Ск,

 

 

 

 

С к +1 =

{ С к + ъ

Cfc+O,

Ck + 1

— (к +

1)-я строка матрицы

 

 

 

 

п - к

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

нахождений

условий

возникновения скользя­

щего

режима

на

плоскости

sft+1 =

0

определим

ве­

личину

sfe+1 в силу системы (9.31) с управлением (9.32).

При

вычислении

sh+1

 

будем считать,

что

c5m|Tl-fc ф 0

а

также

будем

иметь

в виду условия

s к+1 = 0

иль

§ 4 ]

 

 

МЕТОД ИЕРАРХИИ УПРАВЛЕНИЙ

 

 

213

 

 

 

 

п—к—1

 

 

 

 

 

 

 

%п-к —

£

2

^k+l, 1 И

 

^

 

^

1 •

 

 

 

ск+1, n-k

i= l

 

 

 

 

 

 

 

 

7-v

 

п—к—1

 

/„k _n-k\

ck+i, i

 

 

 

 

 

L =

 

2

„к

 

 

 

+

 

 

 

ck+la k —

{ck+lak )

1>---------

 

 

 

 

J=r/C+1+1

 

 

 

4+1, n-k

_

 

 

 

 

гк+1

 

 

 

 

 

„к j,k+l\

 

 

+

2

4+A -

(cUiT*)

 

 

 

 

 

---(с£«Ых) Tk+i,;-

 

7=1

L .

 

 

 

Д +l, n-k

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

2

(4 +i4 - №

ж; — (ck+l4+16u, fc+l +

2

ck+l4&ui) i

i= fc + 2

 

 

 

 

 

 

 

i=k+2

 

(9.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

ai (j =

1, . .

n — к)

и

bk (i =

 

к +

1,

. .

m) —

столбцы матриц А к жB h размерности

n — к x

1.

В силу

^условия

гг >

гj при i < /

некоторые

из коэффициентов

(i =

/с -j-

2, . .

т)

могут быть равны нулю. Восполь­

зовавшись рассуждениями, с помощью которых из урав­

нения (5.7)

были выписаны условия существования

плос­

кости скольжения,

получим из (9.34)

условия,

обеспечи­

вающие возникновение

скользящего

режима

в

любой

точке плоскости (9.33):

 

 

 

 

 

 

ск а?

ск

ап~к

 

 

 

 

 

 

 

ск+1ак

Ск + А

 

(У — r k+i + 1) •••) П — к — 1), (9.35)

ск

„к

 

 

fc+1, 7

°k+1, n-k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к п-к\

к+1, j

 

 

( 4 +l 4 +1) d k+ lj ^

ck+la k —

(ск+1ак

)

ск

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ск+1, п-к

 

 

 

 

 

 

 

 

т

(4 +1*4) 'Fy,

 

 

 

 

 

 

— min

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ck+1, j

 

(9.36)

fik+lЬк *) Pk+1, j ^

ck+lak —

(ck+la k

 

 

 

) —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л .

 

 

 

 

 

m

 

 

 

'k+1, n-fc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— max

2

(4+i4)

 

(7 =

1,..., a-+i),

 

 

 

 

i=k+2

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.37)

 

( 4 « 4 +1)бод-+1 >

2

I (4+i4) 60i |.

 

i=k+2

214 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ 11ГЛ. IX

Неравенства (9.36) и (9.37) в полученных условиях существования плоскости скольжения устанавливают ие­ рархию управлений, о которой шла речь в разделе I и ко­ торая отражена в условиях (3.30). Так же как и дл^ скалярных случаев, величины 60i можно выбрать сколь угодно малыми, лишь бы для них выполнялись условия

(9.37).

При

выполнении условий

(9.35) — (9.37) для любого

к (0

к <; т) *)

любое из

многообразий пересечения

st = 0

(£ = 1, . .

., /с; 1

т) окажется многообра-

вяем скольжения.

Эти условия при rt < п — £ наклады­

вают дополнительные условия на выбор коэффициентов уравнений поверхностей разрыва. Вопрос об устойчивости движения по многообразию скольжения при наличии этих ограничений может быть решен с помощью теоремы, приведенной в § 2 настоящей главы. Выбор коэффициен­ тов а а , нужно начинать с номера к = т — 1, при ко­ тором в неравенства (9.36) не входят разрывные коэффи­ циенты, а правая часть неравенства (9.37) равна нулю.

Затем из (9.35) — (9.37) при

к =

т — 2 определяются

am-i,} 1 Рт-i,] с учетом выбранных

значений ат ,-, рт ^ и

т. д. вплоть до коэффициентов

аи,

Р^, соответствующих

к= 0.

И, наконец, последний вопрос, который следует рас­ смотреть в связи с применением метода иерархии управ­ лений — вопрос о попадании. Идея метода предполагает рассмотрение на каждом шаге скалярного случая, по­ этому можно воспользоваться достаточными условиями попадания (6.8), полученными в § 3 главы VI. Пусть

каждое из многообразий st = 0 (£ = 1, . . ., к; 1 к ^ тп) является многообразием скольжения и на одном'из них Si = 0 (£ = 1, . . ., к) возникло движение в скользящем режиме, описываемое уравнениями (9.31). Тогда при вы­ полнении условий скольжения на всей плоскости sk+1 = 0, (9.33) согласно (6.8) изображающая точка всегда попадет' на эту плоскость, если

ск

0.

(9.38)

cJc+,1ti-Jc

 

 

*) При к = 0 все индексы в уравнении (9.31) следует отбросить, а с® = cv

j 5 ] УПРАВЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

215

Очевидно, что при выполнении неравенства (9.38) для всех к (О О к <( т) изображающая точка из любого началь­ ного положения всегда попадает на плоскость sx = О, 8&т.ем, двигаясь по ней в скользящем режиме, достигнет пересечения = 0 и s2 = 0 и за т шагов окажется на многообразии скольжения s — 0. Если движение вдоль этого многообразия устойчиво, то неравенства (9.38) для 0 О к < т являются достаточными условиями устойчи­ вости системы (9.1) с управлением (9.32) при произволь­ ных условиях.

§ 5. Управление нестационарными объектами

Предположим теперь, что управляемый объект являет­ ся нестационарным, т. е. элементы матриц А и В в (9.1) меняются во времени. Задача управления будет решаться при условии, что параметры объекта не доступны для измерения и известен лишь диапазон их изменения

вр min

®р (0 ^

 

еу тах

 

 

const),

 

( i,

j

=

1 , • • •) Щ Яр mini

е у

max ■

bp min ^

b y ( 0

^

b y max

 

 

(9.39)

 

 

- const.

( i — 1 ,

• • - j e ;

j

=

1 , . . . , ТП', b y m in ,

b y

m a x

Приведенные в § 1 настоящей главы методы синтеза не могут быть использованы при решении этой задачи, так как для их реализации необходима информация о ко­ эффициентах матрицы СВ, а параметры недоступны для измерения. Покажем, что если известны лишь знаки

произведений с£+хЬь-+1 (0

к <; та) и выполняются условия

^

i n f |c£+xb£+ 1 1=f=0,

(9.40)

то задача управления за счет использования скользящих режимов может быть решена с помощью метода иерархии управлений. Выберем функцию управления в виде

 

71— i

 

 

щ =

2 vi V i

(i = 1 ,..., m),

(9.41)

3=1

Смотрите также файлы