Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 3
§ 5] |
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ |
35 |
В случае, если динамические неидеальности в системе отсутствуют, т. е. т = 0 и s* — сх, из условия (1.9) и уравнения
s* = са + cbu*
можно выписать условия возникновения скользящего ре жима в идеальной системе (1.8) или эквивалентной ей си стеме (1.23):
сЪ ■< 0, |сЪ | |са |. |
(1-24) |
Введение динамических неидеальностей в систему (т. е. в (1.19) величина т отлична от нуля) устраняет неоднознач ность в поведении системы на границе разрыва s* = О, так как в этом случае величина s* становится непрерыв ной и скользящий режим возникнуть не может. Покажем теперь, что при выполнении условий (1.24) и стремлении т к нулю предельные уравнения для системы, в которой учтены динамические неидеальности, совпадают с урав нениями, полученными в результате применения доопре деления Филиппова к идеальной системе. Это утвержде ние будет обосновываться с помощью метода гармониче ского баланса (разумеется, в рамках присущих этому методу гипотез).
Будем считать и* и s* входным и выходным воздей ствиями в системе и запишем уравнения движения относи тельно этих координат в изображениях по Лапласу, исключив из (1.19) — (1-21), (1.23) промежуточные пе ременные
s* (р) — cR (тр — Л) 1 Н -jr + Н А . и* (р) + Нх (0) + ху{0)], (1.25)
где х (0), у (0) — начальные условия. В соответствии с процедурой метода гармонического баланса решение уравнения (1.25) относительно s* будем искать в виде
s* = Я„ + sin <*>£,
где Л„, Яц о — const, а в функции и* = sign s* будем учитывать только постоянную составляющую Но и первую
2*
36 |
ВВЕДЕНИЕ |
СГЛ. I |
гармонику Uj sin соt разложения в ряд Фурье:
Uo = |
arcsin |
, |
(1-26) |
^ =4-/*-(£•)■•
Подставляя изображения s* и и* в (1.25), получим тож дество, из которого и находятся искомые коэффициенты
Я.0, ^ или и0, щ. После разложения на элементарные дро би и приравнивания с учетом условия (1.22) к нулю коэф фициента перед дробью i/p2 определяем постоянную со ставляющую функции управления
(1.28)
а из (1.26) — (1.28) — амплитуду первой гармоники
и |
|
4 |
п са |
(1.29) |
1 |
— cos |
Т~сЪ |
||
|
К |
|
(обратим внимание, что постоянная составляющая функ ции и* = sign s* не может быть больше единицы, что и имеет место согласно (1.24) и (1.28)). Наконец, для нахож дения частоты воспользуемся уравнением баланса фаз первых гармоник входного и выходного сигналов
arg с R(xjaE — Л)_1#-у^- = Чг /от,
или
arg сВ (jwE — A y 1 НЪ = |
± к л , |
к = 0,1,2,... (1.30) |
где© =тсоПредположим, что в дробно-рациональной функции cR (хрЕ — А)~гНЪ степень знаменателя по меньшей мере на два превосходит степень числителя. Тогда урав нение (1.30) всегда имеет не зависящее от х решение отно сительно со, которое обозначим через со0, и соответственно частота первой гармоники © находится из условия *)
© = ^ . |
(1.31) |
*) Устойчивость этих гармонических колебаний может быть обоснована с помощью критерия устойчивости предельных циклов, разработанного в методе гармонического баланса.
§ в] |
ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ |
37 |
Таким образом, при наличии динамических неидеальностей согласно (1.28), (1.29), (1.31) поведение системы (1.23) приближенно описывается уравнением
х = а - ь ^ + Ъ( - ^ с05 — ^ ь ) 51П — *- t1-32)
По мере уменьшения величины т, характеризующей до полнительную динамическую подсистему, частота периоди ческой составляющей будет увеличиваться и, как это сле дует из (1.32), ее влияние на двшкение в системе будет уменьшаться. Это означает, что в пределе при стремлении т к нулю решение системы (1.32) будет совпадать с реше нием следующей предельной системы:
х = а — |
(1.33) |
Подставляя в (1.33) вместо а, Ь, с соответственно их зна чения 72(/+ + /~), У2 (/+ — / “ ), grad s, после преобразо ваний получаем
_ |
g rad s-/ |
,+ _ |
grad s - f + |
(1.34) |
|
grad s • (/- — /+ )1 |
grad s • (/" — /+) ' |
||
|
|
|||
Как следует из сопоставления (1.10) и (1.34) и в случае введения в систему динамических неидеальностей с после дующим стремлением их к нулю, предельные уравнения также совпадают с доопределением Филиппова.
§ 6. Проблемы теории скользящих режимов в системах с разрывными управлениями
Итак, во введении мы выяснили, что, с одной стороны, применение скользящих режимов сулит довольно большие возможности для построения систем автоматического уп равления и, с другой стороны, для исследования дове дения разрывных систем требуется создание специального математического аппарата, так как для них неприемлемы методы классической теории дифференциальных уравне ний. С математической точки зрения поведение системы на границе разрыва можно доопределить, однако при иссле довании реальных систем такой подход не может быть при нят безоговорочно, так как любое доопределение нуж дается в обосновании с помощью физических соображений.
33 |
ВВЕДЕНИЕ |
[ГЛ. 1 |
По нашему мнению, |
именно в сочетании |
доопределения |
и его обоснования с помощью предельных переходов, а не
вдоопределении, как таковом, лежит центр тяжести проб лемы описания поведения разрывных систем. Благодаря" предельным переходам удается сиять элементы произвола
вдоопределении и сопоставить различные способы до определения.
Вто же время в большинстве случаев предельные пе реходы осуществлялись лишь для конкретных видов не-
идеальностей — гистерезиса, запаздывания [2, 23, 78, 108, 109] или же, как это сделано в § 5, для динамических неидеальностей. В связи с этим остается открытым вопрос о поведении системы при неидеальиостях произвольной природы и соответственно вопрос о границах применимо сти того или иного доопределения уравнений скольжения.
Вотличие от рассмотренных ранее скалярных случаев
вразрывных системах могут возникать и векторные слу--
чаи, когда управление является векторной величиной и каждая его компонента претерпевает разрывы на соот ветствующей поверхности. В таких системах может ока заться, что изображающая точка после попадания на пере сечение поверхностей разрыва при любом достаточно ма лом отклонении вновь возвращается на это многообразие. (Например, если на каждой из поверхностей разрыва вы полняются условия возникновения скользящего режима (1.9), предназначенные для скалярного случая.) Это оз начает, что дальнейшее движение будет происходить вдоль пересечения поверхностей разрыва и такое движение так же будем называть идеальным скольжением. Возможность появления этого более сложного вида скользящего режи ма порождает совокупность и более общих по сравнению со скалярным случаем постановок задач. Во-первых, необходимо в аналитической форме получить условия воз никновения скользящего режима уже не по одной поверх ности разрыва, а по пересечению нескольких поверхно стей. Вторая задача связана с созданием формальных методов, или доопределений, позволяющих выписать урав нения скольжения вдоль многообразия пересечения. И, на конец, третья задача состоит в обосновании этих доопре делений с помощью предельных переходов, которые не были бы связаны с введением конкретных видов неидеальнбстёй.'Очёвидно, что третья задача включает'в себя
§ б] ЙРОЁЛЁМЫ ТЁОРЙЙ СКОЛЬЗЯЩЙХ РЕЖИМОВ 39
сформулированную в этом параграфе задачу о поведении системы со скалярным управлением при неидеальностях произвольной природы.
Следующий далее раздел I и посвящен математическому аппарату исследования разрывных систем как со скаляр ным, так и векторным управлением, создание которого и предполагает решение перечисленных задач.
В разделе I приводится формальный прием получения уравнений скольжения как в скалярном, так и в векторном случаях и выделяется класс систем, для которых право мерность этого приема подтверждается с помощью введе ния неидеальностей произвольной природы и последую щего предельного перехода. Выявляются случаи, когда уравнения скольжения не могут быть выписаны однознач но, и устанавливаются причины появления неоднознач ности. Задача о возникновении скользящего режима для векторных случаев решается на основе второго метода Ляпунова. Рассмотренные в разделе I методы исследования ^разрывных систем могут быть использованы для изуче ния свойств скользящих режимов, а затем и для построе ния систем управления, в которых желаемые динамиче ские показатели удается получить за счет преднамерен ного создания этого вида движения. Возможные подходы к синтезу систем такого типа обсуждаются в разделе I.
Как уже отмечалось в § 2, задача синтеза может со стоять в определении величины управления как функции произвольных физических координат системы (а не только координаты ошибки и ее производных, как это имело место в большинстве случаев использования свойств скользя щих режимов), а сама функция управления может быть не только скалярной, но и векторной величиной. Методы ре шения наиболее часто встречающихся на практике задач управления на основе создания скользящих движений
классе систем с переменной структурой подробно изу чаются в разделах II и III.
Раздел II посвящен различным задачам построения систем, в которых объект является линейным, а управле ние — скалярной величиной. Порознь рассматриваются случаи, когда параметры объекта постоянны и меняются во времени, а также случаи, когда осуществляется управ ление свободным и вынужденным (при наличии возмуще ний) движением объекта.
40 |
ВВЕДЕНИЕ |
[ГЛ. t |
В разделе III приводятся обобщения для систем с век торным управлением. Задачи высококачественного уп равления, так же как и в скалярном случае, решаются в классе систем с переменной структурой, а методы син теза основываются на создании скользящих движений по пересечению поверхностей разрыва. В разделе III приво дятся условия, при которых скользящие движения обла дают свойством инвариантности по отношению к внеш ним возмущениям и изменяющимся характеристикам объ екта. На основе скользящих режимов решаются также различные задачи статической оптимизации и идентифи кации динамических объектов.